Аналіз даних: Навчальний посібник (Розділи: Регресійний аналіз. Дисперсійний аналіз. Ранговий аналіз), страница 21

де  d_i ²= (x_i–y_i)²  – квадрати різниць рангів;

      n – кількість спостережень.

Коефіцієнт  Спірмена  приймає значення з інтервалу    [-1;1].

Для нашого прикладу

X	1	2	3	4	5
Y	4	1	2	5	3
di	-3	1	1	-1	2
di 2	9	1	1	1	4	=16

=0,2.

Зв'язок між ознаками вважається статистично значущим, якщо значення коефіцієнтів рангової кореляції Спірмена і Кенделла більше 0,5.

Для нашого прикладу коефіцієнт Кенделла τ =0,2,  коефіцієнт рангової кореляції Спірмена , що свідчить про практичну відсутність зв'язку між розглянутими ознаками  X   та Y.

Як правило, коефіцієнт Кенделла менший коефіцієнта Спірмена. При досить великому обсязі сукупності значення даних коефіцієнтів мають таку залежність:

t=2/3 ρ

Коефіцієнт Спірмена (ρ) – легше розраховувати, але з теоретичної точки зору коефіцієнт Кенделла (τ) становить більший інтерес.

Якщо не можна встановити рангове розходження між декількома об'єктами, їх  називають зв'язаними. В цьому випадку об’єктам приписують середній ранг. Наприклад, якщо об'єкти 4,5,6 – мають однакові значення, то їх середній ранг дорівнює (4+5+6)/3=5. Сума рангів зв’язаних об’єктів повинна дорівнювати сумі рангів при ранжуванні без  урахування
зв’язків.

Якщо t послідовних членів Х зв'язані, то всі оцінки, що відносяться до будь-якої пари, що вибрані з них, дорівнюють нулю. Число таких пар t(t – 1). Тоді

.

Відповідно для другої послідовності Y

,

де t та u – кількість зв’язаних пар у послідовностях. Позначимо

.

Отримаємо вираз для розрахунку коефіцієнта Кенделла при наявності зв’язаних об’єктів

.               (9.4)

Аналогічно знаходимо вираз для обчислення коефіцієнта Спірмена. Тільки в цьому випадку 

,              .

Отримаємо вираз для розрахунку коефіцієнта Спірмена при наявності зв’язаних об’єктів

.                (9.5)

Приклад. На змаганнях з фігурного катання судді таким чином розташували учасників змагань:

	учасники
	А	Б	В	Г	Д	Є	Ж	З	І	К
1 суддя	1,5	1,5	3	4	6	6	6	8	9,5	9,5
2 суддя	1	2	4	4	4	6	7	8	9	10

Встановити, наскільки об’єктивні оцінки суддів, тобто на скільки тісний зв'язок  між їхнім оцінками. Обчислити коефіцієнти рангової кореляції Спірмена та Кенделла.

Розв’язок.

За думкою першого судді учасники А і Б поділили перше місце, тому їх об’єднаний ранг дорівнює (1+2)/2=1,5. Учасники Д, Є, Ж поділили 5,6,7-е місця, отже їх об’єднаний ранг дорівнює  (5+6+7)/3=6,  учасники І, К поділили 9,10-е місця, отже їх об’єднаний ранг дорівнює (9+10)/2=9,5. При обчисленні Т маємо: А і Б – два об’єднаних ранги; Д, Є, Ж – три об’єднаних ранги; І, К – два об’єднаних ранги. Для другого судді маємо: В, Г, Д – три об’єднаних ранги.

Обчислимо ранговий коефіцієнт Спірмена. Для цього спочатку обчислимо .

	учасники
	А	Б	В	Г	Д	Є	Ж	З	І	К
1 суддя	1,5	1,5	3	4	6	6	6	8	9,5	9,5
2 суддя	1	2	4	4	4	6	7	8	9	10
d2	0,25	0,25	1	0	4	0	1	0	0,25	0,25

.

Потім обчислимо значення Т і U:

Т=[(2² – 2) + (3³ – 3) +  (2² – 2)]/12=3,

U= (3³ – 3)/12=2.

За формулою

,

де n – кількість спостережень (для нашого випадку n=10), знаходимо

.

Обчислимо коефіцієнт кореляції рангів Кенделла   за формулою