Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика"

МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ

СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ

Кафедра «ПРИКЛАДНА  МАТЕМАТИКА»

Напрям підготовки «ІНЖИНЕРНА МЕХАНІКА»

Спеціальності: «ТЕХНОЛОГІЯ МАШИНОБУДУВАННЯ; МЕТАЛОРІЗАЛЬНІ ВЕРСТАТИ ТА СИСТЕМИ; ІНСТРУМЕНТАЛЬНЕ ВИРОБНИТСТВО; ОБЛАДНАННЯ ЛИВАРНОГО ВИРОБНИТСТВА; ОБЛАДНАННЯ ДЛЯ ОБРОБКИ МЕТАЛІВ ТИСКОМ; ОБЛАДНАННЯ ЗВАРНОГО ВИРОБНИТСТВА; ОБНОВЛЕННЯ І ПІДВИЩЕННЯ ЗНОСОСТІЙКОСТІ МАШИН І КОНСТРУКЦІЙ; ПРИКЛАДНЕ МАТЕРІАЛОВЕДЕННЯ»

МЕТОДИЧНА ДОКУМЕНТАЦІЯ

до курсу «ВИЩА МАТЕМАТИКА»

Документ №6

«Методичні вказівки до практичних

 та лабораторних занять »

(третый семестр)

Луганськ-2004

Практичне заняття 1.

План:

1.1.Тема. Числові ряди. Знаходження суми ряду. Дослідження на збіжність числових знакопостійних рядів.

1.2.Ціль:

1). Засвоїти означення ряду та його збіжність.

2). Засвоїти лінійні операції.

3). Засвоїти необхідну ознаку збіжності.

1.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 1.

1.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції) .

1.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 612-627.

1.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

1). Означення ряду та його збіжність.

    О. Рядом, складеним з елементів послідовності , називається символ

,                                              (1.1)

який розуміють спеціальним чином.

У запису (1.1) а_n називають загальним або n-м членом.

Утворимо так звані часткові суми (1.1)

,

,

.........................

і розглянемо послідовність їх .

О. Ряд називається збіжним, якщо існує скінчена границя послідовності його частинних сум,       .

О. Ряд називається розбіжним, якщо границя послідовності його частинних сум або нескінченна, або не існує.

О. Сумою ряду називається границя послідовності його частинних сум, якщо вона існує, тобто       . 

2). Лінійні операції.

Розглянемо ряд     .

О. Залишком ряду після -го члена називають ряд   ,

Тобто   .

Т. 1. Ряд і його залишок або одночасно збігаються, або одночасно розбігаються.

Розглянемо лінійні операції над рядами.

Т. 2. Нехай маємо  ,      (1.2)

                                 .       (1.3)

Тоді         Якщо (1.3) збігається, то  ряд  

теж збігається і           ;

якщо ряди (1.2) і (1.2) збігаються, то ряд  

теж збігається і    .

3). Необхідна ознака збіжності.

 Необхідну ознаку збіжності дає така теорема.

Т. Якщо ряд збігається, то послідовність його членів прямує до нуля, тобто якщо ряд (1.1) збігається, то   .

Справді, збіжність ряду (1.1) означає, що , де

,  тобто   ,   звідки

.

1.7. Вправи на засвоєння матеріалу

          1).  Розв’яжемо декілька прикладів:

 ПРИКЛАД 1.

Дослідити на збіжність ряд, обчисливши його суму.

.

Розв’язання:

Маємо   ,    ,

звідки . Так, як ця рівність повинна виконуватись тотожньо відносно п (для всіх значень ), то надаючи значення , одержимо систему з якої і знайдемо А, В. Маємо А = 1, В = -1. Отже, остаточно. Застосувавши цей результат до кожного доданка, дістанемо,      ,    звідки . Отже, ряд  збіжний,         S = 1.

ПРИКЛАД 2.

Дослідити на збіжність геометричний ряд, тобто суму нескінченної геометричної прогресії ()    .

Розв’язання:

Треба розглянути проміжки, в яких може бути q.

Розглянемо такі випадки

I випадок. Нехай . Тоді   . Отже, ряд збіжний, .

II випадок. Нехай . Тоді   .  Отже, ряд розбіжний, .

III випадок. Нехай . Тоді   ,    .

Отже, ряд розбіжний, .

IV випадок. Нехай . Тоді    ,

Відповідь:  ряд збіжний при  і розбіжний при .

ПРИКЛАД 3.

Дослідити на збіжність ряд   та знайдіть його суму.

Розв’язання:

Цей ряд складається з членів нескінченно спадної геометричної прогресії, тому збіжний.

Знаходимо його суму

Відповідь: ряд збіжний, S= 4/3.

2). Розв’язати самостійно:

1). Дослідити на збіжність геометричний ряд, тобто суму нескінченної геометричної прогресії ()    .   

2). Дослідити на збіжність ряд 

3).   Дослідити збіжність рядів, використовуючи необхідну ознаку збіжності

3.1. 3.2. 3.3.   3.4.

 Відп. Усі розбігаються 

4.       Дослідити збіжність рядів, використовуючи ознаку Даламбера.

4.1. 4.2.   4.3.   4.4.

 Відп.1,2 – збіг.3,4 – розбіг.

Практичне заняття 2.

План:

2.1Тема. Дослідження на збіжність числових знакододатніх рядів.

2.2.Ціль:

1). Засвоїти знакододатні ряди.

2). Засвоїти ознаки збіжності знакододатних рядів.

3). Засвоїти Лейбніцеву ознаку збіжності знакозмінних рядів.

2.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 1.

2.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції) .

2.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор.627-642.

2.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

1). Означення знакододатнього ряду.