Математика \ Высшая математика

Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 17

Введемо параметр t і вважаємо . До цього нас штовхає не стільки наявність в першому рівнянні системи суми , як те, що при такій параметризації в другому рівнянні замість трьох змінних залишиться тільки дві . Після параметризації друге рівняння перетвориться в рівняння з відокремленими змінними і легко інтегрується. .

Таким чином параметричні рівняння векторних ліній будуть мати вид

(*)

Знайдемо значення параметра t, яке відповідає точці ; при маємо

. Підставимо це значення параметра а також координати точки в в (*) і отримаємо:

Тому параметричне рівняння векторної лінії яка проходить через точку буде гвинтова лінія - це і є відповідь.

ПРИКЛАД 6.

Проводячи досліди з магнітним полем провідника струму при вивченні шкільного курсу фізики, ви спостерігали як залізні опилки під дією магнітного поля провідника перпендикулярного до площини, на якій розсипані опилки утворювали концентричні кола, центром яких є точка перетину вісі провідника з площиною. Знайдемо тепер рівняння векторних ліній магнітного поля нескінченного провідника, по якому тече струмом величиною І.

Розв’язок:

Систему координат виберемо так, щоб провідник співпав з напрямом вісі . Нехай струм має силу , тоді для визначення вектора напруженості магнітного поля в точці , створюваного струмом, застосуємо закон Біо-Савара у векторно-диференціальній формі , де – вектор напруги магнітного поля, створеного струмом І, який проходить по дільниці-вектору ; – вектор, проведений з початку вектора в точку , в якій знаходимо напруженість.

Позначимо зміну віддаль між точкою О(0,0,0) і початком вектора через t. Тоді можна вважати як приріст t, тобто, якщо , то . Але ж і тому . Очевидно, що , . Якщо відстань від вісі Оz до точки , то .

Розкриємо векторний добуток:

. Бачимо, що

. Щоб знайти проінтегруємо знайдені диференціали в межах від до .

=. Тобто . Аналогічно знайдемо . З .

Після скорочення знаменників на , диференціальні рівняння векторних ліній будуть мати вигляд:

- це є рівняння сімейства кіл, центри яких знаходяться на вісі Oz; радіуси цих кіл і віддалені вони від площини на віддаль.

ПРИКЛАД 7.

Обчислити потік вектора через зовнішню сторону бічної поверхні кругового циліндра , обмеженою площинами z=0 і z=H (H>0).

Розв’язок:

Даний циліндр проектуєтьсяна площину хОу в лінію, а саме, в коло

Тому будемо проектувати циліндр на інші координатні площини, наприклад, на площину уОz. Тому що циліндр проектується на площину у0z не взаємно однозначно, то скористаємося властивістю аддитивности потоку вектора і представимо шуканий ноток К в виді суми потоків , де — потік поля через частину циліндра, розташовану в області, де у > 0, а — потік цього ж поля через частину циліндра, розташовану в області, де у < 0. На маємо