Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 16

13.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

1). Скалярне поле. Поверхні рівня.

Означення. Якщо в області D задана скалярна функція точки , то говорять, що в цій області задане скалярне поле.

Ми будемо вважати, що скалярне поле стаціонарне, т, е. що величина  не залежить від часу t. Зауважимо, втім, що в реальному оточені  приходиться зіштовхуватися і з нестаціонарними полями. Тоді величина  буде залежати не тільки від точки Р, але і від часу t.

Означення.   Поверхнею рівня скалярного поля називається геометричне місце точок, у яких функція приймає постійне значення, тобто .

Означення. Похідною від функції  у напрямку  в точці Р називається границя (якщо вона існує) =

=.  

2) Градієнт.

Означення. Градієнтом функції  називається вектор, проекціями якого служать значення частинних похідних цієї функції, тобто

  

Похідна функції по  напрямку дорівнює скалярному добутку градієнта функції на одиничний вектор цього напрямку.

З перетворення ,  ми бачимо що похідна функції по даному напрямку дорівнює проекції градієнта функції на напрямок   диференціювання, де -кут між вектором  і променем .

Властивості градієнта функції аналогічні правилам знаходження похідних і доведення двох наступних властивостей очевидне.

1).

2), де С – постійна величина.

Третю і четверту властивість доводимо за правилами диференціювання.

3)

 

= . Таким чином: .

4) =

=. Таким чином. .

          3) Векторне поле і векторні лінії.

Означення. Якщо в кожній точці Р області D задано визначений вектор, то будемо говорити, що в цій області задане векторне поле.

Означення. Векторною лінією векторного поля називається лінія, у кожній точці якої напрям дотичної збігається з напрямком вектора, що відповідає цій тічці.

13.7. Вправи на засвоєння матеріалу.

1).  Розв’яжемо декілька прикладів:

 ПРИКЛАД 1.

 Знайти поверхні рівня скалярного поля  .

Розв’язок.

 Знайдемо спочатку область визначення функції:

; як відомо  є рівняння конуса. Значить нерівність  задає простір який знаходиться зовні конуса. Для цього достатньо взяти яку завгодно точку, про яку ми знаємо, що вона знаходиться зовні, наприклад  і переконатись, що її координати задовольняють нерівність . Поверхні рівня визначаються рівнянням  де Або після очевидних перетворень . Але ж  тому  - це буде сімейство кругових конусів розташованих зовні конуса  зі спільною віссю симетрії . Сам конус  також входить в це сімейство, а точка - вершина всіх конусів є точкою невизначеності поля.

ПРИКЛАД 2.

 Знайти похідну скалярного поля  в точці параболи за      напрямком цієї параболи.

Розв’язок.

Знайдемо направляючі конуси вказаного напрямку. Напрям параболи,  в будь-якій точці збігається з напрямком дотичної до параболи в цій точці, а тому знайдемо вектор напрямку (добре було б, коли б він був одиничним) дотичної, використовуючи  геометричний зміст похідної: тангенс кута нахилу до осі  дотичної до кривої в даній точці дорівнює величині похідної в цій точці. Із рівняння  Тому ; Звідси  

Таким чином   Знайдемо  в точці          Підставимо знайдені значення в формулу (11.1).

 

Це і є відповідь.

ПРИКЛАД 3.

 Обчислити , де  – довжина радіус-вектра  точки , або віддаль цієї точки від початку координат.

Розв’язок:

 Очевидно, що  А тому .

ПРИКЛАД 4.

 Знайти точки, в яких модуль градієнта скалярного поля  дорівнює 1.

Розв’язок:

                                 (*)          

        Підставимо в (*)      Згідно умови , тобто , а це рівняння сфери.

Відповідь: точки розміщені на сфері .

ПРИКЛАД 5.

 Знайти векторну лінію поля, яка проходить через точку ; .

Розв’язок:

Скористаємось для знаходження векторних  ліній диференційними рівняннями  ; це система рівнянь. Представимо її у вигляді:

.