6.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції).
6.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 408-420.
6.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.
1). Комплексна форма запису ряду Фур’є.
Використаємо формули Єйлера:
.
Введемо позначення:
,
,
.
(6.1)
Тоді =
Таким чином, ми одержали розвинення
функції у функціональний ряд з комплексними
членами. Він називається рядом Фур'є в комплексній формі. (6.4)
2). Представлення функції інтегралом Фур’є.
Представлення функції в
сегменті
рядом Фур'є (5.2)
можна витлумачити в такий спосіб. Якщо функція в
сегменті
є «досить гарної» (саме, якщо вона в цьому
проміжку задовольняє умовам Дирихле), то для того, щоб її в цьому сегменті
цілком описати, досить указати деякий, цілком визначений набір її
характеристик, коефіцієнтів Фур'є (див. (5.3)):
,
,
Таким чином, коефіцієнти Фур'є несуть у собі досить інформації про поводження функції у відповідному кінечному сегменті, як би великий він ні був.
3). Комплексна форма інтегралу Фур’є:
(6.5)
і застосуємо до наявного в цій формулі косинусу формулу Эйлера:
. Ми одержимо
, чи
.
Тут, як неважко переконатися підстановкою ,
інтеграли, що стоять у правій частині, рівні один одному. Тому
(6.7)
Отримана формула називається розкладанням функції в інтеграл Фур'є в комплексній формі.
4). Поняття про перетворення Фур’є.
Перепишемо формулу (6.7), заміняючи a на , у наступному виді:
, і покладемо
(6.8)
Тоді, очвидно, буде (6.9)
Визначення. Перехід від функції до
функції
, описуваний формулою (6.8), називається перетворенням
Фур'є функції
. Часто перетворенням Фур'є
функції
називається сама функція
. Зворотний перехід від функції
до функції
,
описується формулою (6.9), називається зворотним перетворенням Фур'є. Також
зворотним перетворенням Фур'є функції
називається
функція
.
6.7. Вправи на засвоєння матеріалу.
1). Розв’яжемо декілька прикладів:
ПРИКЛАД 1.
Знайдемо інтеграл Фур'є в комплексній формі для функції
Розв’язок:
У цьому випадку обчислення внутрішнього інтеграла в правій частині формули (6.7) дає нам
.
Тому формула (6.7) набуває в даному випадку такого виду: .
Відповідь: .
ПРИКЛАД 2.
Розвинемо в інтеграл Фур'є в комплексній формі функцію Ми маємо
Останній інтеграл є
функцією від a. Позначимо його через
і
обчислимо його. Ми маємо
,
роблячи підстановку , ми одержимо
.
Продиференцюємо ця тотожність по a.
Через те, що збіжність до границі по a є
рівномірною в будь-якому кінцевому проміжку, диференціювання під знаком
границі законно. Ми маємо . Виконуючи
диференціювання інтеграла по верхній і нижній границях, ми одержуємо
, а згадуючи формулу (6.5) і переходячи до
границі, будемо мати
. Отже, первісна функція повинна
бути постійної:
. Зокрема, повинне бути
. Обчислимо інтеграл
. Запишемо його для цього двічі:
, і перемножимо почленно ці рівності. Ми
одержимо
.
Переходячи в подвійному інтегралі до полярних координат, ми маємо
, відкіля
.
Таким чином,
і шуканим розвиненням в інтеграл Фур'є є .
Практичне заняття 7.
План:
7.1.Тема. Дослідження подвійних інтегралів, їх властивостей. Обчислення в декартових координатах. Заміна змінних у подвійних інтегралах.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.