Математика \ Высшая математика

Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 4

4.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 670-691.

4.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

1). Означення рядів Тейлора та Маклорена.

Ряд

називається рядом Тейлора для .

Справедлива така теорема.

Т. Ряд Тейлора (Маклорена) для збігається саме до , якщо існує таке, що

у деякому околі точки

2) Стандартні розвинення елементарних функцій в степеневі ряди.

Виконаємо розвинення деяких елементарних функцій у ряди Маклорена.

1. Нехай . Маємо, , ,…,,…, а тому

…=

Згідно з (4.2) = (4.1)

Знайдемо інтервал збіжності цього ряду. За ознакою Даламбера =. Яке б не було х остання рівність завжди виконується, а тому .

2. Нехай . Тоді , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (4.2) одержимо = (4.6)

3. Нехай . Тоді , , ,, …,,… При х = 0 дістанемо , , , … Підставивши в (4.2) одержимо = (4.7)

4. Нехай маємо . Послідовно знайдемо похідні

…………………………………. …………………………

………………………………………………. …………………………………….

Ураховуючи, що , після підстановки знайдених коефіцієнтів в (4.2) одержимо (4.8)

Ряд (4.8) називається біномінальним.

3). Формули Єйлера.

Дані формули називаються формулами Ейлера. Вони виражають тригонометричні функції через показникові і навпаки.

3). Застосування степенневих рядів:

- знаходити значення функцій;

- знаходити значення границь;

- знаходити наближення функцій многочленами;

- інтегрувати функції;

- розв’язувати диференціальні рівняння;

- розв’язувати інтегральні рівняння.

4.7. Вправи на засвоєння матеріалу.

1). Розв’яжемо декілька прикладів:

ПРИКЛАД 1.

Розвинути в ряд за степенями x функцію .

Розв’язання:

Спочатку треба знайти значення функції та її похідних при x=0:

тому при фіксованому x має місце нерівність для всіх n.

Функція можна представити у формі суми ряду Маклорена:

у даному випадку питання про збіжність ряду вирішується ознакою Даламбера.

Відповідь:

ПРИКЛАД 2.

Скласти для функції ряд Тейлора за степенями x-2.

Розв’язання:

Треба обчислити значення функції f(x) та її послідовні похідні при x=2:

область збіжності одержаного ряду визначемо за допомогою Р.П.К. .

Зведемо тотожними перетвореннями задану функцію до формули суми - спадної геометричної прогресії , звідки

, звідси видно, що тому

Відповідь:

ПРИКЛАД 3.

Використовуючи стандартні розвинення в ряди, розкласти за степенями х функцію .

Розв’язання:

Представимо функцію у вигляді суми двох функцій. Таке представлення можливе бо знаменник дробу можна записати у вигляді добутку двох двочленів

і потім, застосувавши метод невизначених коефіцієнтів прийдемо до суми. перегрупуємо

. Для знаходження невизначених коефіцієнтів А і В одержуємо систему . Таким чином . Перетворимо ці доданки так, щоб можна було застосувати до кожного з них формулу суми нескінченно спадної геометричної прогресії. =