Знакододатнім рядом називається ряд, в якому . Згідно з теоремою 2, 1.2, немає необхідності окремо розглядати випадки знаковід’ємних рядів.
Нагадаємо один результат з теорії границь: монотонно зростаюча й обмежена зверху послідовність має границю.
2). Ознаки збіжності знакододатніх рядів.
Ознаки порівняння (О – П)
Т.1. Нехай маємо ряди, (*) ,(**)
причому . Тоді із збіжності ряду (**) випливає збіжність ряду (*), а з розбіжності ряду (*) випливає розбіжність ряду (**).
Т.2. Нехай маємо ряди , (*) , (**)
Якщо то ряд (*) і ряд (**) мають однакову поведінку тобто вони одночасно розбігаються, або одночасно збігаються..
Ознака д’Аламбера (О –Д).
Т. Якщо-загальний член ряду і (1.2)
То а) при ряд збіжний, б) при ряд розбіжний,
в) при ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких і розбіжні, для яких теж .
Радикальна ознака Коші (Р – К)
Т. Якщо – загальний член ряду і
то а) при ряд збіжний, б) при ряд розбіжний,
в) при ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких і розбіжні, для яких теж .
Інтегральна ознака Коші-Маклорена (І – К)
Т. Якщо члени ряду, (3.2)
утворюють незростаючу послідовність й існує незростаюча неперервна невід’ємна функція така, що
, ,…, ,…,
то ряд (3) і невластивий інтеграл збігаються або розбігаються одночасно.
3). Лейбніцева ознака збіжності знакозмінних рядів.
О. Знакопереміжним називається ряд
, для всіх . (4.2)
Ознаку збіжності таких рядів містить наступна теорема.
Т. (Лейбніца). Якщо послідовність членів ряду (4.2)
1) є спадною (),
2) такою, що , то
а) ряд (4.2) збігається,
б) якщо - сума ряду (4.2), то .
Зауваження. Теорема Лейбніца справджується, якщо послідовність членів (4.2) є спадною хоча б з деякого номера.
2.7. Вправи на засвоєння матеріалу
1). Розв’яжемо декілька прикладів:
ПРИКЛАД 1.
Дослідити на збіжність ряд
Розвязання:
Скористатися ознакою Даламбера (1.2).
Маємо
D=
D>1, ряд розбіжний.
Відповідь: ряд розбіжний.
ПРИКЛАД 2.
Дослідити на збіжність ряд .
Розв’язання.
Маємо , .
Останній ряд збіжний див (О-П), а тому за теоремою порівняння (Т-1) досліджуваний ряд збігається.
Відповідь: ряд збіжний.
ПРИКЛАД 3.
Дослідити на збіжність ряд
Розв’язання:
Скористатися інтегральною ознакою:
Інтеграл розбіжний, тому розбіжний і ряд.
Відповідь: ряд розбіжний.
ПРИКЛАД 4.
Дослідити на збіжність ряд
Розвязання:
Скористатися ознакою Лейбніца:
перша умова ознаки Лейбніца виконана.
друга умова ознаки Лейбніца теж виконана.
Значить ряд збіжний.
Відповідь: ряд збіжний.
ПРИКЛАД 5.
Дослідити на збіжність ряд
Розв’язання:
Скористатися радикальною ознакою Коши (І-К) :
С>1, ряд розбіжний.
Відповідь: ряд розбіжний.
2). Розв’язати самостійно:
1. Дослідити збіжність рядів, використовуючи радикальну ознаку Коші.
1.1.1.2.1.3.1.4.
Від.1,2 – збіг.3,4 – розбіг
2. Дослідити збіжність рядів, використовуючи інтегральну ознаку Коші.
2.1. 2.2. 2.3. 2.4.
Відп.1,2 – збіг.3,4 – розбіг.
3. Дослідити збіжність знакозмінних рядів, використовуючи ознаку Лейбніца.
3.1. 3.2. 3.3. 3.4.
Відп.1-збіг. абсолютно, 2 – збіг. умовно, 3 і 4 – розбігаються.
Практичне заняття 3.
План:
3.1.Тема. Дослідження на збіжність функціональних рядів, властивостей рівномірнозбіжних рядів. Розвинення степенневих рядів. Абелева теорема.
3.2.Ціль:
1). Засвоїти функціональні ряди.
2). Засвоїти властивості рівномірнозбіжних рядів.
3). Засвоїти теорему Абеля.
3.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 2.
3.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції).
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.