Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 2

Знакододатнім рядом називається ряд, в якому  . Згідно з теоремою 2, 1.2, немає необхідності окремо розглядати випадки знаковід’ємних рядів.

Нагадаємо один результат з теорії границь: монотонно зростаюча й обмежена зверху послідовність має границю.

2). Ознаки збіжності знакододатніх рядів.

Ознаки порівняння (О – П)

Т.1. Нехай маємо ряди,   (*)      ,(**)

причому . Тоді із збіжності ряду (**) випливає збіжність ряду (*), а з розбіжності ряду (*) випливає розбіжність ряду (**).

Т.2. Нехай маємо ряди ,   (*)      ,  (**)

Якщо  то ряд (*) і ряд (**) мають однакову поведінку тобто вони одночасно розбігаються, або одночасно збігаються..

       Ознака  д’Аламбера  (О –Д).

 Т. Якщо-загальний член ряду і                                     (1.2)

То    а) при  ряд збіжний,     б) при  ряд розбіжний,

в) при  ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких  і розбіжні, для яких теж .

 Радикальна ознака Коші (Р – К)                                                   

          Т. Якщо – загальний член ряду і                                  

то    а) при  ряд збіжний,     б) при  ряд розбіжний,

в) при  ознака не чинна: існують ряди збіжні, для яких  і розбіжні, для яких теж .

  Інтегральна ознака Коші-Маклорена (І – К)

Т.  Якщо члени ряду,  (3.2)

 утворюють незростаючу послідовність  й існує незростаюча неперервна невід’ємна функція  така, що

, ,…, ,…,

то ряд (3) і невластивий інтеграл  збігаються або розбігаються одночасно.

3). Лейбніцева ознака збіжності знакозмінних рядів.

Знакозмінними є такі ряди, що містять нескінченну множину як додатних, так і від’ємних членів.

О. Знакопереміжним називається ряд

,    для всіх . (4.2)       

Ознаку збіжності таких рядів містить наступна теорема.

Т. (Лейбніца). Якщо послідовність членів ряду (4.2)

1)  є спадною (),

2)  такою, що , то

а)  ряд (4.2) збігається,

б)  якщо  - сума ряду (4.2), то .

Зауваження. Теорема Лейбніца справджується, якщо послідовність членів (4.2) є спадною хоча б з деякого номера.

2.7. Вправи на засвоєння матеріалу

          1).  Розв’яжемо декілька прикладів:

 ПРИКЛАД 1.

Дослідити на збіжність ряд

Розвязання:

Скористатися ознакою Даламбера (1.2).

Маємо

D=

D>1, ряд розбіжний.

Відповідь: ряд розбіжний.

ПРИКЛАД 2.

Дослідити на збіжність ряд  .

Розв’язання.

 Маємо    ,      .

Останній ряд  збіжний див (О-П), а тому за теоремою порівняння (Т-1) досліджуваний ряд збігається.

Відповідь: ряд збіжний.

ПРИКЛАД 3.

Дослідити на збіжність ряд 

Розв’язання:

Скористатися  інтегральною ознакою:                   

Інтеграл розбіжний, тому розбіжний і ряд.

Відповідь: ряд розбіжний.

ПРИКЛАД 4.

Дослідити на збіжність ряд 

Розвязання:

Скористатися ознакою Лейбніца:  

перша умова   ознаки Лейбніца виконана.

 друга умова  ознаки Лейбніца  теж виконана.

Значить ряд збіжний.

Відповідь: ряд збіжний.

ПРИКЛАД 5.

Дослідити на збіжність ряд  

Розв’язання:

Скористатися радикальною ознакою Коши (І-К) :

             С>1, ряд розбіжний.

Відповідь: ряд розбіжний.

 2). Розв’язати самостійно:

1.   Дослідити збіжність рядів, використовуючи радикальну ознаку Коші.

1.1.1.2.1.3.1.4.

Від.1,2 – збіг.3,4 – розбіг

2.  Дослідити збіжність рядів, використовуючи інтегральну ознаку Коші.

2.1. 2.2. 2.3. 2.4.  

Відп.1,2 – збіг.3,4 – розбіг.

3.   Дослідити збіжність знакозмінних рядів, використовуючи  ознаку Лейбніца.

3.1. 3.2. 3.3. 3.4.

Відп.1-збіг. абсолютно, 2 – збіг. умовно, 3 і 4 – розбігаються.

Практичне заняття 3.

План:

3.1.Тема. Дослідження на збіжність функціональних рядів, властивостей рівномірнозбіжних рядів. Розвинення степенневих рядів. Абелева теорема.

3.2.Ціль:

1). Засвоїти функціональні ряди.

2). Засвоїти властивості рівномірнозбіжних рядів.

3). Засвоїти теорему Абеля.

3.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 2.

3.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції).