Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 8

7.2.Ціль:

1). Засвоїти подвійні інтеграли, їх властивості.

2). Засвоїти обчислення в декартових координатах

3). Засвоїти заміну змінних у подвійних інтегралах.

7.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 4.

7.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції).

7.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 420-429.

7.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

          1). Обчислення подвійного інтегралу.

(пригадаймо матеріал ІІ-го семестру)

                                                  

2). Заміна змінних у подвійному інтегралі.

 Нагадаємо схему заміни змінних у визначеному інтеґралі 

де  — відношення довжин елементарних частин при старій та новій змінних. Нехай маємо

                                                      

 Користуючись формулою Тейлора для двох змінних (пригадаємо її: ),

маємо

                                      Формула  є формулою переходу в подвійному інтегралі від прямокутних декартових координат до полярних.

7.7. Вправи на засвоєння матеріалу.

1).  Розв’яжемо декілька прикладів:

 ПРИКЛАД 1.

Обчислити повторний інтеграл

Відповідь:

ПРИКЛАД 2.

Розставити границі інтегрування в тому і в другому порядку в подвійному інтегралі

, де - трикутник з вершинами .(рис.1).

 Розв’язок: побудуємо область. Запишемо рівняння ліній, які обмежують область: це осі. Рівняння прямої  будемо шукати у вигляді:

Розпишемо подвійний інтеграл через    повторний;де   Рис.4.5.

;- (індекси внизу ікса - означають крайня ліва  і крайня права координата області по змінній х)   визначити дуже легко; - це значення змінної , яке приймає поточна (текущая) точка, знаходячись в крайній лівій частині області . Аналогічно - це значення змінної , яке приймає поточна точка знаходячись в крайній правій частині області . В нашому випадку . Значення  і - (нижнє і верхнє) знайти важче, бо вони будуть залежати від тих значень змінної , які вона приймає в межах попереднього інтегрування. Обчислимо їх декілька, використовуючи рівняння границь області і застосовуючи рисунок 1. При ;  при ;   при ;                                                ми знаходимо, підставляючи  в рівняння, яке обмежує область  знизу;  ми знаходимо, підставляючи  в рівняння, яке обмежує область  згори. А тому в загальному випадку в другому інтегралі границями повинні стояти функції і ; Відповідь:.

ПРИКЛАД 3.

 Перемінити порядок інтегрування в повторному інтегралі

Розв’язок: випишемо рівняння ліній, які обмежують область    інтегрування : , або  при   , або . Зобразимо область (рис.4.6). Областю буде криволінійний трикутник . Якщо змінна  буде змінюватись від  до  то змінна величина  буде змінюватись від  в точці до 0 в точці. , за величиною буде дорівнювати висоті стовпчика, яка буде залежати від того значення  в якому знаходиться точка.Очевидно, що для інтервалу зміни  від  до  значення  буде увесь час

                   Рис 4.6.

дорівнювати. В цей час  буде зростати від до , причому, це зростання йтиме вздовж дуги кола , або . Так буде до тих пір доки точка  не дійде до. (В цей час точкадійде до точки ). В точці  порушується умова гладкості кривої, бо в ній невизначена похідна . В точці  точка  переходить з кривої  на лінію . З цієї причини ми вимушені, користуючись властивістю адитивності подвійного інтеграла , розбити його на два інтеграли: один по області, четвертина кола ; другий по області ; частина площини першого квадрату обмежена трикутником . В інтегралі по області     змінюється від до  в зовнішньому інтегралі і  змінюватиметься від  до  у внутрішньому, тобто :. Для кращого розуміння розстановки границь можна, як до прикладу технічної реалізації ідеї, звернутись до роботи телевізора. Якщо горизонтально відхиляюча система електроніки промінь буде відхиляти від точки  до точки , то щоб одержати на екрані зображення сектора , треба у вертикальному напрямку промінь ганяти від прямої  до кривої . Якщо протягом одного відхилення по горизонталі буде виконуватись декілька сот відхилень по вертикалі, то рисочки  зільються і ми одержимо зображення сектора. Аналогічно, .