Методичні вказівки до практичних та лабораторних занять з дисципліни "Вища математика", страница 12

CD:     y=0;=>  0=r × sinj;    r ¹ 0  =>  sinj = 0;  j = 0.

AB:    y=x =>r  sinj =r  cosj;   sinj =cosj;   tgj=1 =>j=

AD:   x²+y²=2x => r²cos²j + r²sin²j = 2r cosj;         r² = 2r cosj; r ¹ 0  => r = 2 cos j;

BC:    => r² cos²j + r² sinj = 4r cosj => r = 4 cosj;

Очевидно, що для того, щоб одержати область ABCD промінь з положення  повинен переміститись в положення (рівняння прямої АВ в полярній системі координат). Під час цього переміщення повинне змінюватись від дуги кола  до дуги кола . Це і будуть границі інтегрування для внутрішнього інтеграла.А тому маємо:

          Відповідь:

Відповідь: .

ПРИКЛАД 3.

 Обчислити об’єм тіла заданого нерівностями : ;   ;      .

Розв’язання. Спочатку з’ясуємо якими поверхнями обмежене задане тіло . Для цього зведемо рівняння поверхонь до канонічної форми , перейшовши від нерівностей до рівностей.   це сфера з центром  в.т О(0;0;0) і радіусом 8,  а  - це весь трьохвимірний простір за вийнятком внутрішніх точок (точок, які лежать всередині сфери) .

Анолггічно  це сфера з центром  в.т О(0;0;0) і радіусом 14,  а  - це множина точок, які лежать в середині сфери і на ній. Таким чином нерівність задає сферичне тіло радіусом 14  з вирізаною всередині  його сферою радіусом 8.

Нерівність  перетворимо в рівність  і побачимо, що це конус, а тому нерівність  задає множину точок, яка лежить више   конуса             Анологічно   , множина точок , які лежать зовні нижче конуса   – площина,  –  площина . Нерівність – множина точок, які лежать між цими двома площинами .

Наявність виразів х²+у²+z² спорукає нас на перехід до  сферичної системи координат:

. Переведемо рівняння границь в нову систему координат.

 1.  . Це і є границі інтегрування по.

2.   . Звідси легко знайти границі інтегрування по :.

 3.         . Це і будуть границі інтегрування по .

=

Відповідь. V= куб. одиниць.

 2). Розв’язати самостійно:

1.  Знайти обєм тіла обмеженого циліндром і площинами . Відп. 81/5.

2.  Обчислити площу плоскої фігури обмеженої кривою . Відп.

3.  Обчислити статичний момент круга радіуса R відносно своєї дотичної. Відп..

4.  Обчислити момент інерції еліпса відносно центра. Відп. .

5.  Знайти центр ваги тіла обмеженого сферою  і конусм . Відп.

Практичне заняття 10.

План:

10.1.Тема. Дослідження криволінійних інтегралів за довжиною лінії та за координатами. Їх властивостей. Обчислення і застосування криволініфних ентегралів.

10.2.Ціль:

1). Засвоїти криволінійні інтеграли.

2). Засвоїти методи обчислення криволінійних інтегралів.

3). Засвоїти формулу Гріна.

10.3. Теоретичний матеріал подано в лекції номер 7.

10.4. Опитування студентів з теоретичного курсу (запитання подані в кінці лекції).

10.5. Додаткову літературу можна використати таку:Бермант А. Ф., Араманович И. Г. Краткий курс математического аналмза (издание любое стереотипное) стор. 450-458.

10.6. На практичному занятті використовуються формули, таблиці, теореми.

1). Криволінійні інтеграли.

Границяінтегральноїсумиприпрямуванні до 0 довжини найбільшої з ланок ламаної, кутові точки якої лежать на кривій L, називається криволінійним інтегралом по лінії L, тобто

Такий інтеграл ще називають криволінійним інтегралом за координатами. Йому дали  назву інтеграл другого типу. 

Кінечна границя  суми при  криволінійним називається інтегралом від функції  вздовжкривої L, тобто

 Цей інтеграл дістав назву криволінійний інтеграл першого типу.

          2). Методи обчислення криволінійних інтегралів.

Криволінійний інтеграл другого типу зводиться до визначеного інтегралу у випадках.

а)Якщо крива L задана в явному рівнянням , то                 

б)Якщо крива L задана параметричними рівнянням , то

           

Криволінійний інтеграл першого типу зводиться до визначеного інтегралу у випадках.