Теорія лінійних систем. Математичне моделювання лінійних систем керування. Типові динамічні ланки, страница 9

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

                                                                               

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

                                                                                                   

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, виходячи з наступних міркувань. Судячи з наведеного виразу функції передачі для даної ланки, її вихідний сигнал дорівнює інтегралу вихідного сигналу простої аперіодичної ланки при одиночному стрибкоподібному сигналі на вході, тобто:

                                         

де С – стала інтегрування, яка визначається початковими умовами.

При t = 0 h(t) = 0, тому С = - KT. Таким чином

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона наближається до прямої лінії, яка зміщена відносно початку координат на відстань T і іде під кутом  до осі абсцис.

Амплітудно-частотна характеристика :

                                                                               

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

                                                                                )

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) аперіодичної інтегруючої ланки описується виразом L(ω) = 20lgK-20lgω-20lg, являє собою ламану лінію, яка проходить через точку А[0; 20lgK] під кутом -20 дВ/дек , при частоті  зменшує кут нахилу ще на 20 дВ/дек і при високих частотах має кут нахилу -40 дВ/дек

Проста аперіодична ланка другого порядку

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої аперіодичної ланки 2 – го порядку:

В наведених формулах для цієї ланки показник затухання . При таких умовах корені характеристичного рівняння Т²р²+2dТр+1=0 мають дійсний характер, саме тому  поліном 2 – го порядку лівої частини рівняння динаміки може бути представлений у вигляді добутку двох двочленів, тобто:

,

де Т₁ і Т₂ – сталі часу, а р₁ і р₂ – корені характеристичного рівняння:

.

Отже, функція передачі цієї ланки може бути записана так:

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови ):

 

Користуючись теоремою розкладення, можна визначити перехідну функцію простої аперіодичної ланки 2 – го порядку:

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона нагадує вигляд перехідної характеристики простої аперіодичної ланки першого порядку з деякою відмінністю, яка полягає у тому , що максимум швидкості монотонного наростання сигналу припадає не на нульовий момент часу, а через деякий інтервал.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

                                                                                                       

Амплітудно-частотна характеристика :

                                                                               

Фазово-частотна характеристика :

                                                                               

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

                                                                                        

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі:

          

Логарифмічна амплітудно-частотна характеристика (ЛАЧХ) цієї ланки описується виразом

L(ω) = 20lgK-20lg-20lg, являє собою ламану лінію, яка горизонтально перетинає точку А[0; 20lgK]. Якщо Т₂>Т₁, то ω_2з<ω_1з, тому ЛАЧХ L(ω)  змінює кут нахилу на -20 дВ/дек спочатку при частоті , а потім ще раз зменшує кут нахилу на-20 дВ/дек при частоті   . На високих частотах кут нахилу залишається -40 дВ/дек.

Проста коливальна ланка

Рівняння динаміки в операційній формі і функція передачі простої коливальної ланки:

                                                                               

Зображення за Лапласом вхідного сигналу :

                                                                               

Звідси зображення за Лапласом вихідного сигналу:

                                                                               

Оригінал вихідного сигналу можна знайти, користуючись теоремою розкладення в випадку однократного нульового полюса (для коливальної ланки необхідно виконання умови ):

                                                                                  

Перехідна функція має вигляд

                                                                               

Після необхідних математичних спрощень отримаємо остаточний вигляд перехідної функції:

                                                                               

Перехідна характеристика зображена на рисунку. Вона має явно виражений коливальний характер і наближається в усталеному режимі до значення K.

Виконавши заміну p на , отримаємо комплексний коефіцієнт передачі:

                                                                                                  

Амплітудно-частотна характеристика :

                                                                               

Фазово-частотна характеристика :

Дійсна частина комплексного коефіцієнту передачі:

                                                                                                         

Уявна частина комплексного коефіцієнту передачі: