Другие предметы \ Теория автоматического управления

Теорія лінійних систем. Математичне моделювання лінійних систем керування. Типові динамічні ланки, страница 23

З огляду на перераховані положення відносно виду ВЧХ й її зв'язку з перехідними характеристиками , неважко визначити основні показники якості керування: час керування t_y, перерегулювання σ,%, що встановилася помилку керування .

Оцінка якості керування по АЧХ замкнутих систем

Як частотні оцінки можна використати різні значення частот, що визначають вид АЧХ замкнутої системи.

Розглянемо АЧХ стійкої замкнутої коливальної системи

На графіку прийняті позначення:

ω_p- резонансна частота, що відповідає піку АЧХ;

ω_ср- частота зрізу відповідній умові А(ω_cр)=1;

ω_п-частота, що відповідає верхній границі смуги пропущення, обумовлена з умови А(ω_п)=0,707;

ω_э-эквивалентная частота смуги пропущення, обумовлена по вираженню ω_э =

Еквівалентна частота смуги пропущення являє собою підставу прямокутника, висота якого дорівнює одиниці, а площа дорівнює площі під кривою квадрата А(?).

Оскільки резонансна частота замкнутої системи ω_p у багатьох випадках близька до частоти зрізу розімкнутої системи ω_cp і відповідає частоті коливань у замкнутій системі, час досягнення першого максимуму на перехідній характеристиці може бути визначене по наближеній залежності

t_м

Якщо перехідний процес у системі закінчується через 1-2 коливання, то час керування t_у можна визначити

t_у= (1÷2)

Необхідне значення ω_p визначається по АЧХ замкнутої системи, а ω_cp – по крапці перетинання окружності одиничного радіуса із центром на початку координат з АФЧХ розімкнутої системи.

Оцінки якості по АФЧХ розімкнутих систем.

При використанні критерію стійкості Найквиста запас стійкості можна визначити по видаленню АФЧХ розімкнутої системи від критичної крапки ІЗ Із цією метою вводяться поняття запасу стійкості по модулі й запасу стійкості по фазі.

Запас стійкості по модулі визначається відстанню від крапки перетинання АФЧХ розімкнутої системи з речовинною віссю до крапки З

Для випадку умовної стійкості, зображеного на малюнку, запас стійкості по модулі визначається розташуванням крапок а й d, величинами, вираженими звичайно в децибелах й .

Запас стійкості по модулі тим більше, чим більше L₁й L₂, у добре демпфированых системах ці величини становлять приблизно 6÷20dв, що відповідає 2?10 у лінійному масштабі.

У випадку абсолютної стійкості зміст має тільки величина тому що .

Фізичний зміст запасу стійкості по модулі полягає в тому, що він показує, у скільки разів можуть зміниться значення модуля АФЧХ (коефіцієнта передачі) розімкнутої системи до втрати стійкості.

впливи, Що Обурюють, що приводять до зміни модуля комплексного коефіцієнта передачі W(j? ) без зміни фазових зрушень, називаються збурюваннями по модулі.

Аналіз малюнка показує, що розглянута система може втратити стійкість не тільки при зменшенні L₁ й L₂ (при переміщенні крапок a й d уздовж осі абсцис убік крапки З але й при повороті всіх векторів W(jω) по годинній стрілці на кут γ_з (у крапку C попадає крапка b).

Запасом стійкості по фазі називається кут _з=180º+ (ω), де (ω) - аргумент комплексного коефіцієнта передачі розімкнутої системи при частоті, для якої значення АЧХ дорівнює одиниці.

Запас стійкості по фазі визначає, на який кут по годинній стрілці можливий поворот векторів АФЧХ розімкнутої системи до втрати стійкості. У добре демпфированых системах запас стійкості по фазі становить 30º÷60?.

впливи, Що Обурюють, що змінюють зрушення по фазі без зміни модуля(j? ) називаються збурюваннями по фазі.

До збурювань по модулі варто віднести всі ті збурювання, які, у результаті їхньої дії, змінюють коефіцієнти передачі окремих елементів системи. Найпоширенішими збурюваннями по фазі є збурювання, що приводять до змін чистого запізнювання в системах керування.

Недоліком розглянутих оцінок є те, що для визначення запасу стійкості необхідно знаходити два числа: β_з й γ_з. Ні те, ні інше окремо, ні обоє разом ніяк не визначають однозначно чисельно хоча б один з основних прямих показників якості керування. Щодо цього більш зручно оцінювати якість керування по частотному показнику колебательности.

Частотний показник колебательности

Розглянемо АФЧХ розімкнутої системи:

На малюнку

Розглянемо відносини: , де вектор АФЧХ замкнутої системи. АЧХ замкнутої системи А(?) являє собою модуль АФЧХ.

А(w)=

Відношення будучи начением АЧХ замкнутої системи, однозначно залежить від ступеня стійкості. Чим ближче АФЧХ розімкнутої системи підходить до крапці З, тим менше відрізок Сакі більше відрізок ОА_k, а отже, тим більше максимум зазначеного відношення. Якщо АФЧХ пройде через крапку З, то довжина відрізка Сак стає рівної до нуля, а значення А(ω)- нескінченності. При цих умовах система буде на границі стійкості, у ній виникнуть незатухаючі коливання.

Із сказаного випливає що максимум відносини А(ω)= характеризує колебательность системи.

Частотним показником колебательности М називається максимальне значення АЧХ замкнутої системи при початковій ординаті, рівній одиниці, т.е являє собою відносну висоту резонансного піка.

Розглянемо більш докладно частотний показник колебательности як оцінку якості.

Для судження про частотний показник колебательности М замкнутої системи на комплексній площині W(j?) варто нанести лінію відповідному заданому значенню М=const.

Думаємо, що комплексний коефіцієнт передачі розімкнутої системи представлена у вигляді W(j?) = U(?)+j(?), де U(?) і V(?) - значення речовинної й мнимої частин відповідно.

Тоді з вищенаведеного малюнка випливає, що

ОА_к=