Теорія лінійних систем. Математичне моделювання лінійних систем керування. Типові динамічні ланки, страница 12

2-а теорема. Якщо характеристичне рівняння лінеаризованої системи має має хоча б один корінь з додатною дійсною частиною, то реальна система також буде нестійкою, тобто врахування малих членів розкладення Тейлора не можуть зробити систему стійкою.

3-а теорема. При наявності нульових або чисто уявних коренів характеристичного рівняння лінеаризованої системи поведінка реальної системи якісно не визначена. Врахування членів вищого порядку малості розкладення Тейлора можуть зробити реальну систему як стійкою, так і нестійкою.

Аналітичні критерії стійкості.

Необхідна умова стійкості.

Визначення коренів характеристичного рівняння без наявності необхідних технічних засобів іноді буває досить скрутно, тому потрібні якісь інші способи оцінки стійкості систем без знаходження коренів. Відомо, що корені характеристичного рівняння однозначно пов'язані з його коефіцієнтами, що надає можливість висунути певні вимоги до цих коефіцієнтів, задоволення яких має забезпечити стійкість системи керування.

Наприклад, для рівняння:

pⁿ₊ a_n-1p^n-1+………….+a₀=0

у відповідності до співвідношень Вієтта для дійсних коренів:

 

 

 

a_n-1=-(р₁+ р₂+ …….+ р_n);

a_n-2=р₁ р₂+ р₁ р₃+ …….+ р_n-1 р_n;

a_n-3=-(р₁ р₂ р₃+ р₁ р₂ р₄+ …….+ р_n-2  р_n-1 р_n);

.

.

a_n-2=(-1)ⁿр₁ р₂ р₃……. р_n .

Проаналізувавши наведені формули, неважко помітити, що в стійких системах при від’ємних значеннях усіх коренів (р_і0), усі коефіцієнти a_i>0, іншими словами– для стійкості системи необхідно, щоби коефіцієнти характеристичного рівняння були додатними. Це твердження не має зворотної обов’язковості: додатність коефіцієнтів не свідчить про від’ємність коренів характеристичного рівняння системи, тому при додатних коефіцієнтах деякі корені можуть бути додатними, отже система буде нестійкою.

Вимога щодо знаків коефіцієнтів характеристичного рівняння справедлива не тільки для дійсних коренів, а і для загального випадку. Це можна обґрунтувати наступним чином.

Запишемо характеристичне рівняння для загального випадку:

a_npⁿ₊ a_n-1p^n-1+………….+a₀=0,

або 

a_n(p- p ₁)( p- p ₂)…( p- p _n)=0,

де p ₁, p ₂, p ₃,….., p _n – корені характеристичного рівняння. Будемо вважати, що a_n>0, що завжди можна забезпечити. Припустимо, що усі корені дійсні і, як потрібно для стійкості, від’ємні:

p ₁=-α₁, p ₂=-α₂, p ₃=-α₃,….., p _n=-α_n.

 Тоді характеристичне рівняння матиме вигляд:

a_n(p+ α ₁)( p+ α ₂)…( p+ p _n)=0.

Якщо перемножити між собою двочлени, то жоден коефіцієнт отриманого рівняння не матиме знаку мінус. Це відповідає вже розгляданому вище випадку.

При наявності декількох пар комплексних спряжених коренів з від’ємною дійсною частиною, наприклад, p_k,k+1=-α_kjβ_k , кінцевого результату не змінить, тому що при перемноженні відповідних двочленів отримаємо:

(p+ α_k-jβ_k)∙(p+ α_k+jβ_k)=( p+ α_k)²+β_k²₌ p²+2рα_k+α_k²+ β_k².

Тобто, і у випадку наявності комплексних спряжених коренів з від’ємною дійсною частиною жоден з коефіцієнтів характеристичного рівняння не може бути від’ємним. Тому взагалі, необхідною умовою стійкості систем автоматичного керування є додатність усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння.  Для стійкості системи вимога додатності коефіцієнтів є необхідною, але не завжди є достатньою.

Для систем першого й другого порядку необхідна умова стійкості  разом з тим є і достатньою. Для систем більш високого порядку  окрім виконання необхідної умови потрібне виконання ще інших, додаткових, вимог. Для оцінки стійкості систем розроблені спеціальні критерії.

Алгебраїчні критерії стійкості.

Вперше задача знаходження критерію стійкості була поставлена Максвелом у 1868 році і була успішно розв’язана у 1873 році Раусом для рівнянь 4-ї і 5-ї степені, а вже у 1877 році повністю.

Критерій стійкості Рауса (без доказів).

Спочатку записують характеристичне рівняння у вигляді:

a_npⁿ₊ a_n-1p^n-1+………….+a₀=0,

У відповідності до алгоритму, запропонованого Раусом , складають таблицю, в якій у першому рядку записують коефіцієнти характеристичного рівняння через один, починаючи з коефіцієнта при старшій похідній. У другому рядку записують останні коефіцієнти те ж через один.

№ з/п	Допоміжна величина r0	Коефіцієнти характеристичного рівняння
		1	2	3	∙∙∙∙∙
1	—	an	an-2	an-4	an-6
2	—	an-1	an-3	an-5	an-7
3					∙∙∙∙∙
4					∙∙∙∙∙
5					∙∙∙∙∙
6	∙∙∙∙∙	∙∙∙∙∙	∙∙∙∙∙	∙∙∙∙∙	∙∙∙∙∙

∙∙∙∙∙                                  ∙∙∙∙∙                               ∙∙∙∙∙                               ∙∙∙∙∙                                    ∙∙∙∙∙

n+1

rn-2=

an+1,1=

an+1,2=

an+1,3=

∙∙∙∙∙

Для того, щоби система була стійкою, необхідно і достатньо, при додатності знаків усіх коефіцієнтів характеристичного рівняння, щоби знак першого стовпця  був додатним, тобто : a_n>0;  a_n-1>0; a₃₁>0; a₄₁>0; a₅₁>0 і т. д.

Складання таблиці, а особливо розрахунки досить трудомісткі і монотонні.

Критерій стійкості Гурвіца.

Формулювання критерію було виконане Раусом у1985 році на прохання словацького професора Стодоли. Для визначення стійкості системи керування необхідно скласти матрицю з коефіцієнтів характеристичного рівняння замкненої системи за нескладним алгоритмом. В першому рядку записують коефіцієнти через один, починаючи з другого, у другому рядку виписують коефіцієнти теж через один, починаючи з першого. Наступні рядки заповнюють коефіцієнтами, дотримуючи закономірність зміни індексів, при тому, якщо значення індексу перевищує n, або менше 0, то в відповідну комірку матриці записують 0: