Алгоритм кратной синхронизации для регулирования расфазировки роторов виброустановки с учетом динамики привода, страница 19

Этот тип синхронизации возникает, когда выходы или некоторые фазовые координаты системы  ,совпадают с соответствующими координатами других систем при всех t≥0, или асимптотически при  (возможно, с некоторыми временными сдвигами ). В этом случае можно ввести показатели синхронизации как соответствующие выходы систем с соответственным множеством функционалов . Заметим, что, в частности, этот тип синхронизации возникает, когда полная система, состоящая из всех взаимодействующих систем имеет асимптотически устойчивое предельное множество, определенное соотношениями . Иногда необходимо рассматривать дискретную координатную синхронизацию, когда, точное совпадение выходов (или всех векторов состояния) имеет место только на некотором дискретном множестве моментов времени. В этом случае показатель может быть определен как последовательность:

, а функционалы  выбраны посредством некоторой метрики в пространстве последовательностей, например, равномерная или -метрика.

Вариант дискретной во времени координатной синхронизации встречается , если  - момент времени, в который некоторые координаты или выходы приближаются к заданной точке или пересекают заданную поверхность или уровень. Также  может быть определено как время достижения q-го локального экстремума сигнала. Этот вид координатной синхронизации может быть описан аналогично определению отображения Пуанкаре. Предположим, что в некоторые моменты времени ; q=1,2… решения каждой системы удовлетворяют условию  (т.е., фазовая траектория i-й системы пересекает сечение Пуанкаре q раз). Если для любого заданного q и для всех моменты времени  точно совпадают, можно говорить, что системы  синхронизированы. В этом случае можно формально ввести бесконечное количество показателей ,q=1,2…, т.е. - время q-го пересечения поверхности. Однако, для этого требуется бесконечное количество функционалов . В качестве альтернативы можно определить показатель  как бесконечную последовательность  и использовать некоторую норму в пространстве последовательностей как единственный функционал (как и в предыдущем случае).

Мы показали, как можно формализовать задачи синхронизации в смысле близости либо значений сигналов в какие-то моменты времени, либо самих моментов времени. Однако, приведенные выше формулировки не позволяют выразить свойство асимптотической синхронизации, поскольку введенные функционалы не зависят от времени явно. Для учета особенностей асимптотической синхронизации мы можем ввести "текущие" показатели:

или ("причинный" вариант)

.

и "текущие" функционал, как и прежде

Разумеется, должны быть наложены дополнительные условия, обеспечивающие корректную определенность всех введенных величин, например каждая траектория пересекает сечение при сколь угодно большом t≥0.

Синхронизация в широком смысле может быть определена как точное соответствие любых скалярных характеристик подсистем: амплитуд, частот, энергий, мощностей, фрактальных размерностей и т.д. Использование сочетания функционалов и/или показателей различного вида позволяет получить удивительное многообразие задач комбинированной синхронизации.

Данное выше достаточно общее определение синхронизации обобщает известные определения и их приложения и учитывает особенности, как самосинхронизации, так и управляемой синхронизации. Общее определение дополнено рядом представленных примеров, В данном подходе ключевым является понимание синхронизации как явления, связанного с некоторым условием, которое определяет наличие синхронизма в частной задаче, т.е. движения могут быть синхронными с одной точки зрения, и асинхронными - с другой. Чтобы дать общее определение, мы ввели идею синхронизации по отношению к заданному функционалу (или набору функционалов). Для отображения физических особенностей задачи удобно использовать показатели синхронизации, которые не обязательны с математической точки зрения, но позволяют лучше понять физическое существо задачи.