Мгновенная, средняя, реактивная, комплексная и полная мощности в электрической цепи при гармоническом воздействии, страница 12

Продифференцируем ЗНК и ЗТК по времени и приравняем к 0 время

Решая системы совместно (непродифференцированную и продифференцированную), используем независимые начальные условия, определяем зависимые начальные условия, решаем систему двух уравнений и определяем .

Зная постоянные интегрирования , записываем окончательное решение

Замечание1: порядок дифференциального уравнения определяется количеством реактивности, т.е. , где – количество индуктивностей, – количество емкостей.

Однако есть электрические цепи, в которых порядок дифференцирования уравнения меньше количества реактивности. Это может быть обусловлено:

а) наличием особых -контуров (рис. 101, а) и особых -сечений (рис. 101, б);

б) конфигурации схемы (рис. 101, в).

image description

Рис. 101

Операторный метод анализа переходных процессов

Базируется на преобразованиях Лапласа, которые позволяют систему дифференциальных уравнений свести к системе алгебраических уравнений и найти требуемые неизвестные обычным аппаратом алгебры.

Различают:

а) Прямое преобразование Лапласа

б) Обратное преобразование Лапласа

Преобразования Лапласа позволяют переходить от действительной переменной t к комплексной p и обратно от p к t.

Виды записи преобразования Лапласа

Замечание: по Лапласу могут быть преобразованы те функции, которые удовлетворяют следующим требованиям:

1. при ; , при t < 0.

2. , где М, С – некоторые коэффициенты; – показатель роста функции, т. е функция не должна быть бесконечна.

Основные свойства преобразования Лапласа

1. Линейность

2. Дифференцирование оригинала а) начальные условия нулевые;

б) начальные условия не нулевые.

Для:

а) ;

б) ; .

3. Интегрирование оригинала

4. Изменение масштаба действительного переменного

5. Смещение в области действительного переменного (теорема запаздывания)

6. Смещение в области комплексного переменного

7. Дифференцирование оригинала по параметру

8. Интегрирование оригинала по параметру

9. Умножение изображения имеет свертку оригинала

10. Дифференциальное изображение

11. Интеграл от изображения

12. Умножение оригинала на синусоиду

13. Умножение оригинала на косинус

14. Предельное сопротивление а) ;

б) .

Замечание к б): функция не должна иметь полюсов на мнимой оси и в правой полуплоскости комплексной плоскости p.

15. Теорема единственности.

Если оригинал имеет изображение , то – единственное. Если изображение имеет оригинал , то оригинал – единственен.

Методы определения оригинала по изображению

Это методы решения интеграла – обратного преобразования Лапласа

1. Методы, основанные на теореме вычетов. Решение при этом зависит от вида полюсов

, где – полюс функции вида

Полюс – это корень полинома знаменателя функции

полюсы,

нули.

а) Простые полюсы (корни вещественные и разные)

б) Полюсы кратные (корни вещественные и одинаковые)

Ряд корней имеют кратность , в общем случае – кратность k-го корня.

Решение имеет вид:

, где R – количество кратностей корней.

в) Полюсы попарно комплексно-сопряженные

, где Q – количество пар полюсов.

2. Основан на разложении функции на простые дроби вида:

, где – вычеты функции в соответствующих полюсах. Они могут быть определены не через вычеты, а по методу неопределенных коэффициентов.

Замечание 1: если имеется изображение, и необходимо найти значение функции в момент времени или , то необходимо воспользоваться предельными соотношениями.