Определение и содержание науки о тяге поездов. Уравнение движения поезда. Сопротивление движению поезда. Образование и реализация силы тяги. Торможение, страница 4

При моделировании пуска или электрического торможения электропоездов с контакторно-реостатной системой регулирования удобно интегрирование уравнения движения по току тягового двигателя (косвенное интегрирование по скорости). При этом

,

где Uдi – напряжение, прикладываемое к тяговому двигателю на i-м шаге;

Iдi × (rдi + rпi) – падение напряжения на активном сопротивлении обмоток тягового двигателя и пускового резистора;

Сфi – магнитный поток, соответствующий току Iдi.

Использование тока тягового двигателя в качестве независимой переменной при интегрировании уравнения движения поезда имеет еще одно преимущество перед остальными способами – возможность уменьшения памяти ЭВМ, необходимой для хранения тяговых и тормозных характеристик ЭПС и уменьшения предварительной работы по обработке характеристик и вводу их в ЭВМ.

Поскольку решение уравнения движения поезда, как правило, подразумевает выбор оптимального с точки зрения расхода электроэнергии режима движения поезда, то необходимо иметь два семейства характеристик – тяговые (тормозные) и токовые. Как известно, сила тяги на ободе колеса определяется выражением

Fк = СФк × Iд,

скорость движения

.

В оба выражения входит величина нагрузочной характеристики тягового электродвигателя СФк, приведенная к ободу колеса. Следовательно, оба семейства характеристик можно описать имея зависимость СФк = ¦(Iв). В этом случае объем требуемой памяти ЭВМ и объем предварительных вычислений уменьшается как минимум вдвое. Для вычислений на ЭВМ зависимость СФк = ¦(Iв) целесообразно представить в виде степенного полинома вида

.

Коэффициенты полинома Аi нетрудно получить с использованием одного из математических компьютерных пакетов. Степень полинома n выбирается исходя из требуемой точности вычислений.

Таким образом, в режимах тяги и электрического торможения уравнение движения поезда для практических задач целесообразно интегрировать по току тягового электродвигателя; в режимах тяги и механического торможения – по скорости. При подходе к установившемуся режиму шаг интегрирования следует уменьшать. Критерием выбора величины шага интегрирования может быть точность расчетов, например допустимая погрешность прицельного торможения у остановочного пункта или длина элемента профиля. В установившихся режимах интегрировать уравнение движения следует по времени или пути.

Численные методы. Сущность их заключается в замене нелинейного дифференциального уравнения движения поезда линейным дифференциальным, решение которого с достаточной для практики точностью приближается к решению нелинейного уравнения, то есть в линеаризации уравнения движения поезда. Основным допущением, позволяющим производить линеаризацию, является принцип малых отклонений входящих в уравнение координат от тех значений, которые приняты в качестве исходных для линеаризации.

Известно много различных методов численного интегрирования дифференциальных уравнений: Чаплыгина, Адамса, Рунге-Кутта, Милна и других. Эти методы обеспечивают сравнительно высокую степень точности, но требуют большого объема подготовительных работ. В тяговых расчетах используют менее точные, но более простые – метод Эйлера и разложения функции v(s) в ряд Тейлора. Зависимости fк = f(V) и b = f(V) для этих методов описываются полиномами.

Для любого метода численного интегрирования расчет конечно-малых приращений времени производится по формуле:

.

Метод Эйлера. Запишем уравнение движения поезда в виде:

,

где wr(s) – зависимость сопротивления движению от кривых в функции пути.

Преобразуем уравнение:

.

Интервал времени, на котором решается уравнение разделим на n равных частей:

.

Производную в каждой точке кривой v(t) заменяем конечным приращением. С учетом того, что правую часть уравнения на каждом шаге считаем постоянной для n-го шага имеем:

,

то есть искомая функция на каждом шаге заменяется касательной линией, проведенной к точке, соответствующей началу шага.

Скорость движения и координата на n-м шаге:

Vn = Vn-1 + h × z × (fк – wо – b – i – wr);

sn = sn-1 + Vn-1 × Dt.

Таким образом, сущность метода Эйлера сводится к аппроксимации интегральной кривой v(t) последовательно сопряженными касательными.

Метод Эйлера применяется в системах автоведения поезда.

Решение уравнения движения поезда разложением в ряд Тейлора. Как известно, функцию вида y = j(x) можно разложить в ряд Тейлора:

,

где Rn – остаточный член ряда;

n – приращение независимой переменной.

Применительно к уравнению движения поезда выражение примет вид:

По методике ПТР разложение в ряд Тейлора производится до третьего члена включительно, а в качестве независимой переменной интегрирования уравнения движения принимается V при малых скоростях и s при высоких. Такое разграничение объясняется тем, что при увеличении скорости движения равнодействующая сил fy ® 0, а следовательно Dt ® ¥. При независимой переменной V разложение функции V(s) в ряд Тейлора приобретает вид:

.

В полученном уравнении остались дифференциалы, от которых мы так старательно стремились избавиться. В данном случае величина  является коэффициентом наклона кривой скорости к оси времени, а величина  – соответственно, коэффициентом наклона кривой ускорения.

Приращение пути на любом шаге

.

Так как при расчетах ограничиваются тремя членами ряда, то выражения для вычисления скорости движения и пути обеспечивают достаточную точность при соблюдении следующих условий:

1.  При разгоне до выхода на автоматическую характеристику интегрирование ведется по скорости. При этом допустимое приращение скорости DVдоп = 3¸5 км/ч.

2. При более высоких скоростях интегрирование ведется по пути. При этом за шаг интегрирования принимается весь элемент профиля, если

 < 3¸5 км/ч;  < 0,1¸0,5 км/ч.

При невыполнении условия шаг интегрирования следует уменьшить.