Элементы математической логики. Нормальные виды формул. Совершенные нормальные формы, страница 20

Пусть − непрерывная случайная величина. Тогда функция правдоподобия имеет вид:

Пусть функция дифференцируема по . Тогда необходимое значение находят из условия:

Т.к. при фиксированной выборке максимумы функции и совпадают, то:

Если надо оценить несколько параметров , то функция правдоподобия:

Свойства:

1) МП − оценка является состоятельной оценкой параметра .

2) Эта ассиметрически эффективная оценка

3) Если для параметра существует эффективная оценка, то уравнение правдоподобия имеет единственное решение, совпадающее с этой оценкой.

4) Решение уравнения правдоподобия имеет ассиметрически нормальное распределение, т.е. при соответствующей нормировки предельное распределение при полученной оценки является нормальным.

Недостатки:

1) МП – оценка может оказаться смещенной.

2) Возможны очень сложные вычисления.

Пример: найти методом моментов и методом максимального правдоподобия точечные оценки неизвестных параметров и нормального распределения.

Метод моментов:

Приравняем начальные теоретические выборочные моменты и центральные теоретические выборочные моменты 2-го порядка.

Начальным теоретическим моментом является математическое ожидание:

Центральным теоретическим моментом является дисперсия:

Метод максимального правдоподобия:

Функция правдоподобия:

Интервальные оценки.

Определение: доверительным интервалом для параметра называется интервал , содержащий истинное значение параметра с заданной вероятностью .

Число называется доверительной вероятностью или надежностью, а число − уровнем значимости.

Левосторонний доверительный интервал .

Правосторонний доверительный интервал .

Обычно рассматривают симметричные доверительные интервалы, т.к. вероятность того, что:

и − являются функциями выборки, и длина доверительного интервала определяется величинами: доверительной вероятностью и объемом выборки.

Схема нахождения доверительного интервала.

1) Из генеральной совокупности извлекается выборка объемом . По ней методом моментов или методом максимального правдоподобия находится точечная оценка неизвестного параметра.

2) Составляется некоторая статистика:

, такая, что ее распределение не зависит от и других независимых параметров.

3) Задается доверительная вероятность

4) Определяются значения и такие, что:

5) Решают относительно неравенство:

1) Доверительный интервал для математического ожидания нормального распределения при известном .

Если случайная величина распределена нормально, то величина средняя выборочная , также распределена нормально с заданными характеристиками.

Обозначим величину

Вероятность того, что

Из такого равенства по таблице находим , и тогда раскрывая модуль:

Вероятность выполнения такого неравенства равна .

Следствие: Если требуется найти математическое ожидание с наперед заданной точностью и вероятностью , то минимальный объем выборки, который обеспечит эту точность, находится по формуле: