Математика \ Математика

Элементы математической логики. Нормальные виды формул. Совершенные нормальные формы, страница 15

Вероятностный смысл: есть предел отношения вероятности попадания случайной точки в прямоугольник со сторонами и к площади этого прямоугольника, когда стороны стремятся к нулю.

Свойства плотности:

Свойство следует из того, что есть неубывающая функция своих аргументов.

3) Свойство нормировки:

По свойству

Плотности распределения вероятностей отдельных компонентов случайного вектора выражаются виде интегралов от совместных плотностей распределения.

5) Если двумерный случайный непрерывный вектор, то вероятность попадания случайной точки а произвольную область определяется формулой:

Доказательство:

В общем случае область апроксимируется объединением вписанных и описанных прямоугольников. При стремлении сторон прямоугольника к нулю получается требуемая формула.

Независимость случайных величин.

Определение: Случайные величины называются независимыми, если для любых событий , где - подмножество числовой прямой, имеет место равенство:

Теорема: Случайные величины независимы тогда и только тогда, когда в любой точке с координатами имеет место равенство:

(1)

Доказательство:

(2)

За и выберем любые полуинтервала числовой прямой.

Достаточность: Пусть условие (2) выполнено.

Необходимость: Пусть выполнены условия определения т.е. вероятность того, что

Устремим , к . Получим:

что и требовалось доказать.

Следствия:

1) Пусть плотность распределения вероятности двумерного непрерывного случайного вектора. Случайные величины и независимы тогда и только тогда, когда во всех точках непрерывности функции имеет место равенство: .

Доказательство:

Формулу (2) дважды продифференцируем по и , и получим требуемое равенство.

2) Для того что бы дискретные случайные величины были независимы необходимо и достаточно следующее равенство:

Условные законы распределения составляющих.

Определение: Условным законом распределения составляющей при называют совокупностью условных вероятностей:

вычисленных в предположении, что событие уже наступило.

Следовательно условный закон распределения составляющей в предположении, что событие уже наступило, имеет вид:

Теорема: Сумма вероятностей условного закона распределения равна единице.

Доказательство:

. Что и требовалось доказать.

Пример: Найти закон распределения при условии, что , и математическое .

0,15

0,1

0,25

0,3

0,1

	1	3	4

Определение: Условной плотностью распределения составляющей при заданном значении называется отношение плотности совместного распределения к плотности распределения составляющей .