Математика \ Прикладная математика и механика

Уравнения состояния твердого деформируемого тела. Общие принципы построения уравнений состояния. Постулат макроскопической определимости, страница 17

- значительные по величине деформации ползучести при комнатной температуре.

Эти особенности требуют для расчета конструкций из неметаллических материалов иной нежели в предыдущем параграфе теории.

Основная идея используемая при выводе наследственных соотношений ползучести или, как ее еще называют, вязкоупругости состоит в том, что деформации зависят не только от напряжений, которые действуют в тот же период времени t, но и от всей совокупности напряжений , , действующих от начала нагружения вплоть до времени t. Эта идея в случае одноосного растяжения математически записывается следующим образом:

, (4.82)

где E – модуль нормальной упругости; – разностное ядро ползучести, которое характеризует "память" материала о предыдущих воздействиях и отражает структурную устойчивость, т.е. неизменность свойств материала во времени.

Интегральное соотношение (4.82) было впервые получено Больцманом и называется уравнением Больцмана.

Кривые ползучести многих конструкционных материалов и, в первую очередь полимеров и армированных пластиков, хорошо согласуются с уравнениями Больцмана (4.82) при использовании степенного ядра Абеля

, , где – гамма-функция:

;

n – показатель степенной зависимости, которая аппроксимирует кривые ползучести

, .

Заметим, что практическое определение гамма-функции не представляет никаких затруднений, так как в настоящее время для нее составлены подробные таблицы, которые приводятся в справочной литературе по математике.

Ядро Абеля принадлежит к классу так называемых слабосингулярных ядер, у которых при скорость ползучести при конечном значении деформации.

Теоретическое построение кривой релаксации при на основе уравнения Больцмана (4.82) связано с решением интегрального уравнения Вольтера II рода. Решение имеет вид

, (4.83)

где – ядро релаксации, которое представляет собой, так называемую, резольвенту ядра ползучести. Резольвента ядра Абеля найдена Ю. Н. Работновым и названа им дробно-экспоненциальной функцией

Если кривая ползучести описывается с помощью дробно-экспоненциальной функции в форме

, то кривая релаксации также выражается с помощью дробно-экспоненциальной функции, но с измененным параметром ядра

Дробно-экспоненциальная функция Работнова широко применяется для описания ползучести и релаксации полимеров в широком температурно-временном диапазоне, охватывающем области стеклообразного и высокоэластичного состояний, а также для описания ограниченной ползучести стекло- и угле-пластиков в направлении армирования. Для функции Работнова и интеграла от нее составлены таблицы.

Уравнение Больцмана (4.82) с разностным ядром не может описать ползучесть материалов, у которых со времнем происходит изменение свойств, не связанное с нагружением. Так, например, свойства бетона, который твердеет в течение длительного времени, изменяются с течением времени весьма существенно и это приходится учитывать при расчете конструкций, изготовляемых из бетона. Изменение свойств материала с течением времени носит название старения. В работах Г.Н. Маслова и Н.Х. Арутуняна разработана наследственная теория старения, которая учитывает старение таких материалов, как бетон.

В наследственной теории старения при одноосном растяжении и сжатии принимается следующая закономерность

, (4.84)