Математика \ Прикладная математика и механика

Уравнения состояния твердого деформируемого тела. Общие принципы построения уравнений состояния. Постулат макроскопической определимости, страница 12

Подставив сюда (4.62), получим

Отсюда находится величина множителя Лагранжа:

. (4.63)

Предположение о неизменности объема при пластических деформациях подтверждается результатами экспериментальных измерений. Поэтому равенство (4.63) в теории пластичности можно считать фундаментальным. Из этого равенства следует, что при пластическом деформировании, т.е. при множитель Лагранжа l>0.

Непосредственно из формул (4.60) и (4.62) находим условия существования нагружения материала:

, , .

Условия существования разгрузки записываются следующим образом

, , .

Это является следствием того, что при разгрузке . При напряженных состояниях, соответствующих точкам поверхности пластичности, имеем

, , .

Это так называемый нейтральный тип нагружения. Для него законы упругости и пластичности должны совпадать, т.е. при нейтральном нагружении возникают только упругие деформации. Это является условием непрерывности при переходе от упругого деформирования к пластическому.

4.4.5. Теория течения

В зависимости от принятой поверхности пластичности можно построить различные теории. В случае, когда в процессе нагружения поверхность пластичности расширяется равномерно без учета эффекта Баушингера, упрочнение называется изотропным. Теория пластичности, построенная на базе такой поверхности пластичности, называется теорией течения с изотропным упрочнением или просто теорией течения.

Примем поверхность пластичности (4.56) в виде

, (4.64)

где q – мера упрочнения, которую определим формулой (4.58) – параметр Удквиста. Тогда

, (4.65)

т.е. интенсивность напряжений является функцией параметра Удквиста. Условие (4.65) является обобщением энергетического условия начала пластичности (4.65) на деформирование упрочняющегося материала в области пластических деформаций.

При построении любой теории пластичности приходится принимать гипотезы, которые позволяют получить количественную меру соответствия между сложным и линейным напряженными состояниями, т.е. чтобы по результатам испытаний на растяжение и сжатие стандартных образцов можно было бы найти зависимость между компонента ми сложного напряженного состояния и деформациями. В теории течения с использованием в качестве меры упрочнения параметра Удквиста используются следующие гипотезы: 1) образование пластических деформаций связано лишь с формоизменением элементов тела; 2) при пластических деформациях объем материала не изменяется (несжимаемость материала); 3) интенсивность напряжений является функцией Удквиста при любом напряженном состоянии; 4) интенсивности напряжений и деформаций найденные при линейном напряженном состоянии, справедливы и при сложном напряженном состоянии.

Преобразуем условие (4.65) применительно к линейному напряженному состоянию. При одноосном растяжении имеем , , , , . На основании гипотезы о несжимаемости материала при пластических деформациях . Откуда . На основании формул (3.33) и (2.76) находим, что при одноосном растяжении , и, следовательно,

Таким образом, при линейном напряженном состоянии в случае растяжения формула (4. 65) приводится к виду

. (4.66)

Для определения множителя Лагранжа l из формулы (4.63) необходимо найти производные . С этой целью обратимся к формуле (3.33), на основании которой функция (4.64) запишется в виде