Электростатическое поле. Основные теоретические положения

12. ЭЛЕКТРОСТАТИЧЕСКОЕ ПОЛЕ

12.1. ОСНОВНЫЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ ПОЛОЖЕНИЯ

Электростатическое поле является частным случаем электро-магнитного, оно создается в диэлектрике неподвижными в пространстве и неизменными во времени зарядами. Различают:

- линейный заряд:            t= =;

- поверхностный заряд:   s==;

- объемный  заряд:           r==.

Основными величинами, характеризующими свойства этого поля, являются его напряженность и потенциал. Если в электростатическое поле поместить настолько малый пробный заряд, что он своим присутствием не исказит его, то на него будет действовать сила , отношение которой к величине заряда и даёт напряженность поля =.

Размерность напряженности   [E] ====.

Электростатическое поле является потенциальным или безвихревым во всем объеме. Записывается это следующим образом:  rot= 0,  = 0.

Для характеристики электростатического поля используется скалярный электрический потенциал j , удовлетворяющий условию

= -gradj= -Ñ j .                                      (12.1)

Диэлектрические тела в электростатическом поле могут поляризоваться, то есть может происходить  упорядоченное изменение расположения связанных зарядов под действием сил поля. Степень поляризации характеризуется  вектором поляризации =. Для большинства диэлектриков вектор поляризации пропорционален напряженности поля:   = e₀k_э, где   k_э- электрическая восприимчивость.

В теории поля в расчет еще вводят вектор , который называется вектором электрического смещения или вектором электрической индукции:

= e₀+= e₀+ e₀k_э = e₀(1 + k_э) = e₀e = e_а, где:    e= 1 + k_э- относительная диэлектрическая проницаемость среды;

e_а= e₀e- абсолютная диэлектрическая проницаемость среды, в кото-рой создано поле.

Теорема Гаусса представляет собой основной закон электро-статического поля. Ее интегральная и дифференциальная формы записи:

= ,     div= r.

Из теоремы Гаусса и соотношения (12.1) вытекают уравнения Пуассона и Лапласа. Уравнение Пуассона:   Ñ  ²j = -.

Частный вид уравнения Пуассона при  r = 0 называется уравнением Лапласа:Ñ  ²j = 0.

Решение уравнений Пуассона и Лапласа позволяет определить закон изменения потенциала по известному распределению заряда. При решении этих уравнений появляются постоянные интегрирования, которые определяются, исходя из граничных условий.

Граничные условия:

- граница диэлектрик-проводник: для всех точек диэлектрика, непосредственно примыкающих к поверхности проводника, равна нулю тангенциальная составляющая напряженности поля (Е_t = 0), а вектор электрического смещения численно равен поверхностной плотности индуктированного заряда (D = s);

- граница диэлектрик-диэлектрик: для всех точек, являющихся общими для двух различных диэлектриков, равны по величине тангенциальные составляющие вектора напряженности (Е_1t = Е_2t) и нормальные составляющие вектора электрического смещения (D_1n = D_2n).

При расчёте электростатических полей в однородных средах при наличии нескольких зарядов целесообразным является применение принципа наложения. При этом найденные от отдельных зарядов величины суммируются: скалярные – алгебраически (j =S±j_q, U =S±U_q и т.д.), векторные – векторно (=S ,  =S,  =S ).

При расчете полей, где имеется геометрически правильной формы граница раздела различных сред, применяется метод зеркальных изображений, сущность которого заключается в том, что влияние границы учитывается введением фиктивных зарядов, расположенных симметрично реальным относительно границы. Величина фиктивных зарядов определяется с помощью коэффициентов неполного отражения (коэффициентов фиктивных зарядов), которые в случае плоской границы диэлектрик-диэлектрик вычисляются по формулам

k₁=;   k₂=.

Электрические ёмкости рассчитываются для устройств, в которых электростатические поля не имеют зон с объёмно распределённым зарядом. Под ёмкостью  C  между двумя телами, на которых имеются равные и противоположные по знаку заряды, понимают абсолютную величину отношения заряда на одном из тел к напряжению между телами:

C = q/U.

энергия  электростатического  поля   может   быть   определена   по   её объемной плотности      w_э = ½DE = ½ee₀·E² = D²/(2ee₀).

Энергия поля в объеме V    W_э =.

Силу, действующую со стороны поля на тело, изменение положения которого влияет на энергию поля, можно определять через производную от энергии:   = -gradW_э. Сила в некотором направлении х:  F_х = -.

Для системы проводников с радиусами r_k, расположенных вблизи проводящей поверхности, используют формулы Максвелла, основанные на применении метода зеркальных изображений.

I группа формул Максвелла:   j ₁ = a₁₁t₁ +a₁₂t₂ + a₁₃t₃ + … + a_1nt_n,

j ₂ = a₂₁t₁ + a₂₂t₂ + a₂₃t₃ + … + a_2nt_n,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - j_n = a_n1t₁ + a_n2t₂ + a_n3t₃ + … + a_nnt_n.

В этих уравнениях  j _k – потенциал проводников,  t _k– их заряды,

потенциальные коэффициенты aвычисляются по формулам

a_kk=,   a_{km =}a_mk =, где h_k – высота подвеса провода k, a_km – расстояние между проводами k и m, b_km – расстояние между проводом k и изображением провода m.