Переходные процессы в длинных линиях. Основные теоретические положения

фронтом напряжением  u_пад(t) = 220 кВ,  переходя затем через корректирующие элементы  R = = 180 Ом,   L = 30 мГн   в кабель с параметрами    Z_C2 = 88 Ом,   l₂ = 75 км,   v₂ =     = 150·10³ км/с, конец которого разомкнут (рис. 8.32).

Требуется: построить графики тока i₂₂(t) и напряжения u₂₂(t) в конце первой линии в функции времени, а также графики распределения вдоль обеих линий результирующего напряжения и тока для момента времени   t_ф = 0,5l₁/v₁, считая с момента прихода волны в узел соединения линий.

Решение

1. Записываем ток и напряжение падающей волны:

u_пад(t, х₁=0) = 220 кВ;    i_пад(t, х₁=0) = u_пад/Z_C1 = 220·10³/220 = 1000 А.

2. Через время t_{пробега} = l₁/v₁ = 0,5 мс  волна достигнет сечения “2-2”, где встретит неоднородность. Волна частично пройдёт в индуктивность, частично отразится, а частично, в виде преломлённой волны, пройдёт во вторую линию. Для определения отражённой и преломлённой волн необходимо рассчитать либо ток i₂₂, либо напряжение u₂₂  в сечении “2-2”, через которые затем можно записать выражения  u_отр,  i_отр,  u_прел, i_прел.

Ток  i₂₂(t) рассчитываем по схеме замещения линии для сечения “2-2” (рис. 8.33). Расчёт выполняем классическим методом:

i_L(0₊) = i_L(0_-) = 0,     i₂₂(t) = i_пр + Ае ^pt;

i_пр(t) = 2u_пад/Z_C1 = 2·220·10³/220 = 2000 А,

i₂₂(0₊) === 902 А,

А = i₂₂ (0₊) – i_пр(0₊) = 902 – 2000 = -1098 А;

рL += 0,         р = -4027 1/с,     τ = -1/р = 0,248 с ≈ 0,25 мс.

Таким образом,   i₂₂(t) = 2000 – 1098е ^-4027t А.

Напряжение u₂₂(t) находим по II закону Кирхгофа:

u₂₂(t) = 2u_пад – Z_C1·i₂₂(t) = 440 – 220·(2 – 1,098е ^-4027t) = 241,6е ^-4027t кВ.

По этим выражениям на рис. 8.34 построены графики  u₂₂(t),  i₂₂(t). Выражения справедливы для отрезка времени  t £ 2t_{пробега} = 2·0,5 = 1 мс.

3. Уравнения отражённой и преломлённой волн в функции времени находим через напряжение u₂₂(t).

Отражённая волна:  u_отр(t, у₁=0) = u₂₂(t) – u_пад = -220 + 241,6е ^-4027t кВ;

i_отр(t, у₁=0) = u_отр/Z_C1 = -1000 + 1098е ^-4027t А.

Преломлённая волна   i_прел(t, х₂=0) = u₂₂/(R+ Z_C2) = 901,5е ^-4027t А;

     u_прел(t, х₂=0) = Z_C2·i_прел = 88·0,9015е ^-4027t = 79,33е ^-4027t кВ.

4. Для построения графиков распределения тока и напряжения вдоль обеих линий (рис. 8.35) выражения отражённой и преломлённой волн перепишем в функции аргумента [t_ф – у₁/v₁] или [t_ф – х₂/v₂]. В первой линии будут падающая и отражённая волны:

u_отр[t_ф, у₁] = -220 + 241,6·ехр[-4,027·(0,25 – у₁/300)] кВ,

i_отр[t_ф, у₁] = -1000 + 1098·ехр[-4,027·(0,25 – у₁/300)] А,      у₁ ≤ v₁·t_ф = 75 км.

Во второй линии будет только преломленная волна:

u_прел[t_ф, х₂] = 79,33·ехр[-4,027·(0,25 – х₂/150)] кВ,

i_прел[t_ф, х₂] = 901,5·ехр[-4,027·(0,25 – х₂/150)] А,                   х₂ ≤ v₂·t_ф = 37,5 км.

Для удобства построения графиков расчёт отдельных значений тока и напряжения в обеих линиях сведём в табл. 8.2.

Таблица 8.2

у1, км	uотр, кВ	iотр,А	х2, км	uпрел, кВ	iпрел, А
75	+21,65	+98,4	37,5	79,33	901,5
60	-22,42	-101,9	30,0	64,86	737,1
45	-58,46	-265,7	22,5	53,03	602,7
30	-87,92	-399,6	15,0	43,36	492,8
15	-112,0	-509,1	0	28,99	329,4
0	-131,7	-598,6	---	---	---

ЗАДАЧА 8.46. По воздушной линии с параметрами Z_C1 = 220 Ом, l₁ =     = 150 км,  v₁= 300·10³ км/с  распространяется волна с прямоугольным фронтом, переходя затем через корректирующие элементы  R = 180 Ом,   L = 30 мГн  в кабель с параметрами   Z_C2 = 88 Ом,   l₂ = = 75 км,  v₂ = 150·10³ км/с,  конец которого разомкнут (рис. 8.36).

Требуется: построить графики тока и напряжения в конце первой линии в функции времени, а также графики распределения вдоль обеих линий результирующего напряжения и тока для момента времени