Электротехника \ Теоретические основы электричества

Электростатическое поле. Основные теоретические положения, страница 12

Силу, действующую на шар, можно определить через напряжённость, создаваемую в месте расположения шара тремя остальными зарядами. Но принцип наложения здесь нужно применять в векторной форме (рис. 12.31). Для удобства разложим векторы напряженностей на горизонтальную (х) и вертикальную (у) составляющие.

Е_2у= 0, Е_2х=,

Е₃_x=, Е₃_y=, где cosa == 0,8944; sina = 0,4473.

Е_4х= 0, Е_4у= -,

Е_х = Е₂_x + Е₃_x + Е₄_x= 0,40 В/м; Е_у = Е_2у + Е_3у + Е_4у= -5,12В/м;

Е == 5,13 В/м; F = q·E = 10^-10·5,13 = 5,13·10^-10 Н.

Примечание. Если бы вместо шара находился заряженный проводник (цилиндр), параллельный углу, то можно было бы ограничиться лишь первым зеркальным отображением, а затем воспользоваться группами формул Максвелла для двухпроводной линии.

Задача 12.29. Провода двухпроводной линии U = 500 В находятся в разных диэлектриках, как показано на рис. 12.32. Рассчитать заряд на проводе линии и её ёмкость. Геометрические размеры и свойства сред:

r₀= 0,2 см, r₁= 20 см, r₂= 40 см, e₁= 1, e₂= 2.

Решение

Пусть левый провод имеет заряд t, тогда правый – -t. Поскольку расчет поля нужно выполнить в обеих средах, расчет выполним, используя два рисунка (для каждой среды) – рис. 12.33,a и б. Коэффициенты неполного отражения:

k₁¢ == -0,333; k₂¢ == 0,667;

k₁¢¢ == 0,333; k₂¢¢ == 1,333.

Потенциал точки О (рис. 12.32) будем считать равным нулю. Потенциал первого провода вычислим по рис. 12.33,a в соответствии с принципом наложения с учётом (12.10,а):

j₁=(ln+ k₁¢·ln– k₂¢·ln);

аналогично потенциал второго провода – по рис. 12.33,б:

j₂=(-ln– k₁¢¢·ln+ k₂¢¢·ln).

Напряжение между проводами

U = j₁– j₂=[e₁^-1·(ln+ k₁¢·ln– k₂¢·ln) –

– e₂^-1·(-ln– k₁¢¢·ln+ k₂¢¢·ln)] = t·15,06·10¹⁰.

Отсюда t = U/15,06·10¹⁰= 0,332·10^-8 Кл/м.

Ёмкость линии С₀ = t/U = 6,64 пФ/м.

12.5. ГРУППЫ ФОРМУЛ МАКСВЕЛЛА. ЧАСТИЧНЫЕ ЁМКОСТИ.

ЗАДАЧА 12.30. Линия передачи (рис. 12.34) состоит из трёх проводов радиуса r₀= = 0,6 см. Высота подвеса проводов h₁= h₃= 6 м, h₂= 5,2 м. Расстояния между проводами по горизонтали d₁₂= 2 м, d₂₃= 1,6 м. Напряжения между проводами U₁₂= 60 кВ, U₂₃= 40 кВ. Определить потенциал и заряд каждого из проводов.

Решение

Определяем расстояния между проводами, а также между проводами и их зеркальными изображениями (рис. 12.34):

а₁₂=== 2,13 м,

а₁₃=== 3,6 м,

а₂₃===1,79 м,

b₁₂=== 11,4 м,

b₁₃=== 12,5 м,

b₂₃=== 11,3 м.

Вычисляем потенциальные коэффициенты (на единицу длины):

a₁₁= a₃₃=ln=ln= 13,66·10¹⁰м/ф,

a₂₂=ln=ln= 13,41·10¹⁰м/ф,

a₁₂= a₂₁=ln=ln= 3,02·10¹⁰м/ф,

a₁₃= a₃₁=ln=ln= 2,24·10¹⁰м/ф,

a₂₃= a₃₂=ln=ln= 3,32·10¹⁰м/ф.

Для определения зарядов проводов используем первую группу формул Максвелла: j₁= t₁a₁₁+ t₂a₁₂+ t₃a₁₃,

j₂= t₁a₂₁+ t₂a₂₂+ t₃a₂₃,

j₃= t₁a₃₁+ t₂a₃₂+ t₃a₃₃.

Недостающие для определения шести неизвестных величин уравнения записываем, используя дополнительные условия задачи:

j₁– j₂= U₁₂, j₂– j₃= U₂₃, и так как провода образуют изолированную, не связанную с землёй систему, то t₁+ t₂+ t₃= 0.

Решая полученную систему из шести уравнений, находим искомое:

t₁= 0,466·10^-6Кл/м, t₂= -0,058·10^-6Кл/м,t₃= -0,408·10^-6Кл/м,

j₁= 52,8 кВ, j₂= -7,2 кВ,j₃= -47,2 кВ.

ЗАДАЧА 12.31. Решить задачу 12.26, используя группы формул Максвелла.

Ответы. a₁₁ == 9,522·10¹⁰ м/Ф; j₁= U= 1000 B;

t₁= j₁/a₁₁ = 1,05·10^-8 Кл/м; С₀= С₁₁= 10,5 пФ/м.

ЗАДАЧА12.32.Определить частич-ные и рабочую (C₀) ёмкости одного метра двухпроводной воздушной линии электро-передачи (рис. 12.35), если h= d= 2 м, r₀= 1 см.

Ответы. a₁₂= d= 2 м,

b₁₂== 2м;