Электростатическое поле. Основные теоретические положения, страница 15

ЗАДАЧА 12.42.  Решить задачу 12.17 с помощью ПЭВМ. Распечатку программы см. в приложении к разделу 12.

ЗАДАЧА 12.43. Решить задачу 12.23 с помощью ПЭВМ. Распечатку программы см. в приложении к разделу 12.

ЗАДАЧА 12.44. Решить задачу 12.24 с помощью ПЭВМ. Распечатку программы см. в приложении к разделу 12.

ЗАДАЧА 12.45. В изоляции коаксиального кабеля (рис. 12.43) имеется равномерно распределённый заряд с объёмной плотностью  r= 10 ^-10 Кл/м³.  Внутренний и на-ружный радиусы диэлектрического слоя –   r₁ = 1 см  и r₂ = = 10 см,  длина l= 100 м, относительная диэлектрическая проницаемость – e= 4. определить запасённую в электри-ческом поле энергию.

Решение

Задачу решаем, интегрируя уравнение Лапласа для области  r₁ < r< r₂. Аналогично задаче 12.18 записываем:

j(r) = -r² + А₁ln(r) + А₂;      Е(r) =r –.

Граничные условия:  j(r=r₂) = 0,   Е(r=r₁) = 0. Решая полученную систему уравнений, находим постоянные интегрирования А₁ и А₂.

Запасённую в электрическом поле энергию можно найти двумя способами.

В первом способе воспользуемся формулой для энергии заряда dq слоя толщиной dr, расположенного на расстоянии r от оси:

dW = 0,5dq·j = 0,5r ·2prl·dr·j;

W === 0,533 Дж.

Во втором способе используем формулу для объёмной плотности энергии электростатического поля:  w = 0,5ee₀Е².

wdV = 0,5ee₀Е²·2prl·dr = ee₀Е²·prl·dr,

W === 0,533 Дж.

MathCAD-программа и ответы приведены в Приложении к разделу 12.

Примечание. Ответы для потенциала и энергии в буквенном виде следующие:

j(r) =;    W =.

ЗАДАЧА 12.46. Решить задачу 12.12 с помощью ПЭВМ. Распечатку программы см. в приложении к разделу 12.

Задача 12.47. Между проводами двухпроводной линии электропередачи (рис. 12.44) действует напряжение   U = 220 кВ. Построить график зависимости от координаты х напряжённости поля на оси, соединяющей провода. Определить максимальную напряжённость поля, если  d = 2 м,  r₀ = 1 см.  Смещением электрических и геометрических осей пренебречь.

Решение

Напряжённость электростатического поля, создаваемого левым и правым проводами линии отдельно на оси х, в соответствии с (12.5):

E¢ =,      E¢¢ =.

Формулы для потенциала любой точки в пространстве между проводами в соответствии с (12.10):

j ¢ =ln,    j ¢¢ =ln,    j  = j ¢ + j ¢¢ =ln.

Тогда напряжение между проводами

U = j(х=-0,5d+r₀) – j(х=0,5d-r₀) =

=ln–ln=ln=

=ln.

Отсюда заряд провода линии   t=.

Формула емкости двухпроводной линии на единицу длины

С₀ ==.

В пространстве между проводами, как видно из рис. 12.44, напряжённости от действия отдельных проводов складываются, а снаружи – вычитаются, внутри проводов поле отсутствует:

при   -0,5d +r₀ < x< 0,5d – r₀E = E¢ + E¢¢, при    |x| > 0,5d + r₀E = E¢ – E¢¢.

Как видно из графика, приведенного в MathCAD-программе, максимальное значение напряжённости наблюдается в точке с координатой   x= 0,5d – r₀ (на поверхности провода):   E_max = E(х=0,5d-r₀) = 21 кВ/см.

MathCAD-программа и ответы приведены в Приложении к разделу 12.

Задача 12.48. В системе провод-ников, расположенных в воздухе вблизи проводящей поверхности, действуют два источника ЭДС, как показано на рис. 12.45:  Е₁ = 5 кВ,  Е₂ = 2 кВ. Радиусы всех проводов одинаковы и равны   r₀ = 10 мм. Высота под-веса проводников   h₁ = 5 м,  h₂ = 7 м,  h₃ = 6 м. Расстояния между проводниками по горизонтали  d₁₂ = 3 м,   d₂₃ = 2 м.

Определить потенциал и заряд на единицу длины каждого проводника. Дополнительно вычислить частичные ёмкости системы проводников.

Решение задачи осуществляется по алгоритму и по формулам задачи 12.30. MathCAD-программа и ответы приведены в Приложении к разделу 12.

C. 61-67 – см. файл «Приложение к разделу 12».