Электростатическое поле. Основные теоретические положения, страница 6

Е₁ =+;        j ₁ = -=–+ А₁.

В области     R₂ < R < R₃

Е₂ =;          j ₂ = -=+ А₂.

Пусть   j ₂(R₄) = 0,  тогда   

А₂ = -;      j ₂(R) =.

Потенциал металлической прослойки    j₁(R₂) = j₂(R₃). Отсюда

А₁ =–+;

j₁(R) =+–(R² – R₂²).

Напряжение, приложенное к устройству,

U = j ₁(R₁) =+–

–(R₁² – R₂²) = q·–

– –(R₁² – R₂²) +=

= 3,447·10¹¹·q + 1117.

Отсюда   q == -3,406·10^-10 Кл.

С учетом значения заряда q получаем окончательные формулы потенциала и напряженности поля, на основании которых строим требуемые графики (рис. 12.14):

j(R) =

Е(R) =

Примечание. C помощью ПЭВМ в системе MathCAD задача может быть решена без столь громоздких выкладок, а путём составления и решения системы уравнений, как это показано в задаче 12.46.

Задача 12.13. Какое максимальное напряжение можно подвести к двухслойному плоскому конденсатору рис. 12.15, если:   ε₁ = 2,   ε₂ = 4,    d₁ = = 2,5 мм,  d₂ = 5 мм. Пробивная  напряженность изоляции: Е_проб = 30 кВ/см. Запас электрической прочности принять равным  n= 2,5.

При найденном напряжении рассчитать объёмную плотность энергии второго диэлектрика.

Решение

Исходя из принятого запаса электрической прочности, допустимая напряжённость поля в диэлектриках

Е_1max £== 12 кВ/см,   Е_2max £= 12 кВ/см.

Если пренебречь краевым эффектом, то у плоского конденсатора напряжённость поля в каждой области постоянна –  Е₁  и  Е₂, соответственно. На границе раздела сред имеет место условие  D_1n = D_2n, которое в данном случае приводит к выражению  ε₁E₁ = ε₂E₂  или   E₁ = 2E₂.

Так как  E₁ > E₂,  принимаем   E₁ = Е_1max = 12 кВ/см.

Тогда     E₂ = ½E₁ = 6 кВ/см.

Максимально допустимое напряжение на зажимах конденсатора

U= E₁d₁+ E₂d₂= 12·0,25 + 6·0,5 = 6 кВ.

Объёмная плотность энергии второго диэлектрика

w₂ = ½ε₂ε₀E₂² = 0,5·4·8,85·10 ^-14·6000² = 6,37·10 ^-6 Дж/см³.

Задача 12.14. Какое максимальное напряжение можно подвести к двухслойному коаксиальному кабелю (рис. 12.16,a), если:   r₁ = 2,5 мм,    r₂ = = 7,5 мм,  r₃ = 12 мм,  r₄ = 14 мм,  ε₁ = 5,  ε₂ = 2.  Пробивная  напряженность изоляции:  Е_1проб = Е_2проб = 30 кВ/см.  Запас электрической прочности принять равным 3.

Вычислить ёмкость кабеля.

Решение

При подключении кабеля к источнику постоянного напряжения Uжила кабеля будет нести на себе заряд tна единицу длины. Напряженность поля определим по (12.5).

Для первого слоя изоляции:     Е₁=.

Для второго слоя:                      Е₂=.

Качественная картина распределения напряженности приведена на рис. 12.16,б.

Наибольшая напряженность поля в слоях изоляции

Е_1max =,   Е_2max=.

Чтобы не произошло пробоя изоляции:

Е_1max≤ = 10 кВ,    Е_2max≤= 10 кВ.

Произведения    ε₁r₁ = 5·2,5 = 12,5;    ε₂r₂ = 2·7,5 = 15;   ε₁r₁ < ε₂r₂.

Поэтому    Е_1max> Е_2max.    Принимаем     Е_1max = 10 кВ.Тогда

τ  = Е_1max·2πε₁ε₀r₁;       Е₁ =;        Е₂ =.

Напряжение первого слоя изоляции:

U₁ = = Е_1maxr₁ln= 10⁴·0,25ln3 = 2747 В;

а второго слоя:       U₂ = =ln=ln= 2937 В.

Максимальное рабочее напряжение кабеля:

U= U₁ + U₂ = 2747 + 2937 = 5684 В.

Заметим, что при изготовлении двухслойного коаксиального кабеля относительную диэлектрическую проницаемость изоляции внешнего слоя, как правило, нужно принимать меньшей, чем внутреннего слоя   (ε₂ < ε₁).  В противном случае (при ε₁ < ε₂) большая часть напряжения сети будет приложена к первому слою изоляции.

Емкость двухслойного кабеля (конденсатора) можно рассчитать, представив его последовательным соединением двух ёмкостей (рис. 12.17). В соответствии с (12.11) ёмкости слоёв и всего кабеля:  

С₁₀ =,   С₂₀ =,    С₀ ==.

Или по определению ёмкости  С₀ === 0,367 пФ/м.

Задача 12.15. Максимальная напряжённость электростатического по-ля в изоляции двухслойного цилиндрического конденсатора (рис. 12.13, r = 0) составляет  Е_max = 30 кВ/см.  Требуется определить напряжение, приложен-ное к конденсатору, и его ёмкость, если

l = 5 м,   e₁ = 2,   e₂ = 1,   r₁ = 1 см,   r₂ = 3 см,   r₃ = 4 см   и   r₄ = 5 см.

Решение