Электростатическое поле. Основные теоретические положения, страница 2

Коэффициенты a_kkи a_km, зависящие от геометрических размеров тел, их взаимного расположения и свойств среды, в которой они находятся, имеют размерность [м/Ф] и являются положительными.

II группа формул Максвелла:  t₁ =b₁₁j₁ + b₁₂j₂ + b₁₃j₃ + …+ b_1nj_n,

t₂ = b₂₁j₁ + b₂₂j₂ + b₂₃j₃ + …+ b_2nj_n,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - t_n=b_n1j₁ + b_n2j₂ + b_n3j₃ + …+ b_nnj_n.

В этих уравнениях  b_km = – емкостные коэффициенты, где  D – определитель системы I группы формул Максвелла,

D_km – алгебраическое дополнение.

Размерность ёмкостных коэффициентов [Ф/м].

III группа формул Максвелла:  t₁ = С₁₁j₁ + С₁₂U₁₂ + С₁₃U₁₃ + … + С_1nU_1n,

t₂ = С₂₁U₂₁ + С₂₂j₂ + С₂₃U₂₃ + … + С_2nU_2n,

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - t_n = С_n1U_n1 + С_n2U_n2 + С_n3U_n3 + … + С_nnj _n, где  U_km – напряжение между проводами k и m.

Входящие в эти уравнения коэффициенты С называются частичными емкостями:

C_kk== b_k1 + b_k2 + … + b_kk + … + b_kn– собственная частичная емкость,

C_km= -b_km– взаимная частичная емкость k-го и m-го проводников.

Размерность частичных ёмкостей [Ф/м].

12.2. РАСЧЁТ ПОЛЯ С ПОМОЩЬЮ ИНТЕГРАЛЬНЫХ СООТ-НОШЕНИЙ.

Задача 12.1. Вывести формулы для опре-деления потока вектора электростатической индукции в функции координат а) от точечного заряда через сферическую поверхность радиуса R; б) от линейного заряда через цилиндрическую поверхность радиуса r.

Решение

Для случая а) проведём вокруг точечного заряда q сферическую поверхность S радиуса R (рис. 12.1) и применим теорему Гаусса в интегральной форме:   = Sq.   Из определения напряжённости поля вытекает, что силовые линии направлены радиально, следовательно, перпендикулярно к поверхности S. Таким образом, векторы  и  по направлению совпадают, и их скалярное произведение можно заменить произведением их модулей. Кроме того, значение вектора  во всех равноудалённых от заряда q точках поверхности S одинаково в силу симметрии; поэтому его можно вынести за знак интеграла. Таким образом, получаем:

== D·= D·S = D·4p ·R².                  (12.2)

Следствие: индукция и напряженность поля точечного заряда –

D =,    Е ==,                         (12.3)

то есть зависят только от координаты R.

Аналогично поступим в случае б): проведём вокруг оси с линейным зарядом t цилиндрическую поверхность S радиуса r, длиной l и применим теорему Гаусса в интегральной форме:  = Sq. В качестве иллюстрации можно опять воспользоваться рис. 12.1, но после замены q на t и R на r, причем ось z направлена перпендикулярно к плоскости рисунка. Предположим, что длина объекта значительно больше его радиуса. Тогда можно пренебречь искажением плоскопараллельного поля вблизи торцов цилиндра S и считать, что силовые линии направлены везде радиально. В этом случае поток вектора  через торцовые части будет равен нулю, так как здесь угол между  и  составляет 90°. Во всех же точках боковой части векторы  и  по направлению совпадают, и их скалярное произведение можно заменить произведением их модулей. Кроме того, значение вектора  во всех равноудалённых от оси z точках боковой части поверхности S одинаково в силу симметрии; поэтому его можно вынести за знак интеграла. Таким образом, получаем:

== D·S_бок = D·2p ·r·l.                    (12.4)

Следствие: индукция и напряженность поля заряженной оси –

D ==,    Е ==,                  (12.5)

то есть зависят только от координаты r.

Задача 12.2. Определить напряженность поля, создаваемого двумя зарядами в месте распо-ложения третьего, и силу, действующую на третий заряд, в системе точечных зарядов, изображенной на рис. 12.2, где

q_a = 4·10^-12 Кл,     q_b = 15·10^-12 Кл,     q_c = 15·10^-12 Кл.

Решение

Формула для напряженности электростатического поля, создаваемого уединённым точечным зарядом в вакууме, в соответствии с формулой (12.3) имеет вид:

E =.

Тогда значения напряжённостей, создаваемых в точке с зарядами q_a и q_b будут, соответственно, равны (рис. 12.3):

E¢ === 143,9·10³ В/м = 143,9 кВ/м.

E¢¢ === 843,0·10³ В/м = 843,0 кВ/м.