Математика, страница 4

29.  Предложите способ применения 2-го признака сравнения для исследования сходимости знакопеременных числовых рядов.

30.  При исследовании числового ряда на сходимость студент сумел вычислить сумму ряда, после чего сделал вывод, что ряд сходится. Прав ли был студент? Почему?

Степенные ряды

1.  Дан степенной ряд . Является ли он сходящимся в точке ? Почему?

2.  У функции  в точке  четыре первых производных в этой точке отличны от нуля, а остальные – обращаются в ней в нуль. Разложима ли эта функция в степенной ряд в точке ? Почему?

3.  Можно ли построить такой ряд Маклорена, чтобы он расходился при ? Почему?

4.  В каком множестве содержится больше точек: в интервале сходимости или в промежутке сходимости? Почему?

5.  Для степенного ряда  студент получил, что его радиус сходимости равен 2, а затем сделал вывод, что интервал сходимости этого ряда . Верен ли этот ответ? Почему?

6.  Можно ли построить такой степенной ряд, чтобы его интервал сходимости являлся пустым множеством? Почему? (множество называется пустым, если не содержит ни одного элемента)

7.  У функции  в точке  четыре первых производных в этой точке отличны от нуля, а остальные – в ней не существуют. Разложима ли эта функция в степенной ряд в точке ? Почему?

8.  В каких случаях промежуток сходимости совпадает с интервалом сходимости? Почему?

9.  При вычислении радиуса сходимости ряда Маклорена по формуле  получилось, что . Был сделан вывод, что про радиус сходимости ничего нельзя сказать. Правилен ли этот вывод? Почему?