Будем считать, что j(х) задаёт начальное распределение температуры такое, что оно равно нулю вне этого промежутка. В начальный момент времени к этому участку струны подвели количество тепла Q, которое равно Q = 2hcrU0. В последующие моменты времени распределение температуры на этом участке стержня целиком определяется формулой (9). U(x,t) = Q/(cr2h(Пt)1/2) * 1/2a*ò{x0 – h, x0 + h} exp{– (x–x)2/4a2t}dx. Если h->0 и в пределе перейдём к точке х0, то переходим к понятию точечного источника. От такого источника в стержне получится распределение тепла: lim{h->0}1/(2crh(Пt)1/2)* 1/2a* ò{x0 – h, x0 + h} exp{– (x–x)2/4a2t}dx (11). Применим к (11) теорему о среднем: (1/2h)* ò{x0 – h, x0 + h} exp{– (x–x)2/4a2t}dx = exp{– (x–x0)2/4a2t}, где x0 – h £ x0 £ x0 + h. Фундаментальное решение даёт распределение температуры вызываемое источником тепла, интенсивность которого Q/cr.
Лекция №8 за 20.10.2000
Эллиптические уравнения.
Существует притягивающее тело, которое влечёт за собой возмущение в каком-то пространстве.
U(x,y,z) = gM/Ö((x–x0)2+(y–y0)2+(z–z0)2) – интенсивность притяжения, где М – масса.
¶2U/¶x2 + ¶2U/¶y2 + ¶2U/¶z2 = 0 (*) => LU=0 – уравнение Лапласа. Вместо формулы для U Лаплас предложил дифференциальное уравнение, описывающее это поле. Можно полагать, что дифференциальное уравнение описывает взаимодействие между двумя соседними элементами этого поля. Таким образом, задачу дальнодействия перевели в задачу близкодействия. Это уравнение (*) не действует в точке сосредоточения масс. Если LU = – f(x,y,z) – то это уравнение Пуассона («–» – чтобы оператор L был положительно определённым и самосопряжённым).
Рассмотрим область Д и её границу Г: Д+Г=`Д.
Опр.: Функция U(x) называется гармонической в конечной области Д, если она в этой области дважды непрерывно дифференцируема и удовлетворяет уравнению Лапласа.
Опр.: Функция U(x) называется гармоничной в бесконечной области Д, если в каждой точке области Д, находящейся на конечном расстоянии от начала, функция U(x) дважды непрерывно дифференцируема, удовлетворяет уравнению Лапласа и на бесконечности имеет порядок О(1/|x|m-2), так что для достаточно больших расстояний имеет место неравенство: |x| возрастает, следовательно, |U(x)| £ C/|x|m-2, m – размерность пространства. Если m=2, то условие означает, что гармоническая функция в бесконечной области ограничена на бесконечности. Определение бесконечной функции не налагает никаких ограничений на поведение функции на границе области.
Сингулярное решение уравнения Лапласа.
Пусть х и x – точки m-мерного евклидового пространства Еm, r = |x–x| = Öå{k=1,m}(xk – xk)2 (1). Введём функцию V(x,x) = 1/rm-2 (m>2) (2). Зафиксируем точку x, тогда V становится функцией одной переменной х. Функция V будет разрывна при х = x. Докажем, что в области не содержащей точку x, функция V – гармоническая. Прежде всего, в области, не содержащей точку x, функция V непрерывна вместе со своими производными любого порядка. На бесконечности V(x,x) = O(1/|x|m-2) (3), т.к. r = |x–x| ³ |x| – |x|. Нас интересует поведение V(x,x) при достаточно больших х. Тогда |x| < |x|/2 => r > |x|/2 => V(x,x) < 2m-2/|x|m-2 – это аналогично (3). Соотношение (3) важно, если рассматривается бесконечная область. Покажем, что функция (2) удовлетворяет уравнению Лапласа: ¶2V/¶x2k = {(m–2)/rm}* [–1 + m(xk–xk)2/r2].
LV = å{k=1,m}¶2V/¶x2k = {(m–2)/rm}* å{k=1,m}[–1 + M(xk–xk)2/r2] = {m-2/r}(m–m) = 0.
Функция (2) называется сингулярным решением уравнения Лапласа. Для этой функции важно то, что это решение всегда с определённой скоростью ® к µ, при х ® x. Сингулярное решение уравнения Лапласа симметрично относительно х и x (т.е. можно заменить х).
Частные случаи сингулярных решений.
Пример1: m=3, U=U(r) ® процесс обладает сферической симметрией. d(r2dU/dr)/dr = 0, решение: U = C1/r + C2. Положим С2 = 0, С1 = 1 => U=1/r – сингулярное решение для поля, обладающего сферической симметрией, это фундаментальное решение уравнения Лапласа.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.