Пример2: m=2. Цилиндрическая симметрия: U=U(r). Лапласион в цилиндрических координатах 1/r* d(rdU/dr)/dr = 0, U(r) = C1lnr + C2. Положим С2 = 0, С1 = 1 => U(r) = lnr.
Теорема1 (лемма) об интегральном представлении функций класса С2.
Если функция U(x,y,z) непрерывная и имеет производные 1го и 2го порядка всюду в области Д, причём 1ые производные непрерывны вплоть до границы области S, а вторые непрерывны внутри области, то тогда имеет место формула: U(M0) = 1/4П* ò{S}[1/r* ¶U/¶n – U ¶/¶n(1/r)]dS – 1/4П* ò{D}1/r* LUdt (1), где r – расстояние, М0 – фиксированная точка, М – произвольная точка в области Д.
Док–во: Будем предполагать, что функция U имеет непрерывные производные 2го порядка вплоть до границы S. Рассмотрим функцию V = 1/r. Т.к. она обращается в бесконечность в точке М0, то нельзя применить формулу Грина ко всей области Д. Вырежем из области Д шар с центром в точке М0 и целиком содержащийся в Д. Оставшуюся часть области обозначим Дr. sp – поверхность шара. В Дr можно использовать функцию Грина, т.к. она удовлетворяет свойствам непрерывности. Функция V = 1/r – гармоническая в Дr и формула Грина будет иметь вид: ò{Dr}LU/r dtp = ò{S}[1/r* ¶U/¶n – U*¶/¶n(1/r)]dS + ò{sp}[1/r* ¶U/¶n1 – U* ¶/¶n1(1/r)]dS (2). Устремим r к нулю. Тогда слева в формуле (2) получим интеграл по всей области Д. Интеграл справа в (2) по поверхности S от р не зависит. На поверхности шара sр величина радиуса имеет постоянное значение r. Т.к. нормаль n направлена против радиуса, будем иметь: ¶(1/r)/¶n1|sp = ¶(1/r)/¶r|spr=p = 1/r2 => ò{sr}U¶(1/r)/¶n ds = 1/r2 U(Mr)4Пr2 = 4ПU(Mr), Мr – точка на поверхности шара. Производные 1го порядка от функции U ограничены в замкнутой области Д, т.к. по предположению функция U имеет непрерывные производные в этой области. Следовательно, существует постоянная К, что |¶U/¶n|<K, и тогда |ò{sr}1/r* ¶U/¶n ds| £ K/r* ò{sr}ds = K/r* 4Пr2 ® 0 при r®0. Т.о., после предельного перехода при r®0 получаем (1).
Для двумерного случая m=2 U(x0,y0) = 1/2П* ò{Г}[(ln1/r)¶U/¶n – U¶(ln1/r)/¶n] dГ – 1/2П* ò{D}(ln1/r)LUds; D – конечная область, ограниченная замкнутой кривой Г.
Свойства:
1. Пусть U(x,y,z) – гармоничная функция в конечной области Д, ограниченной S. Пусть U непрерывна вместе с производными второго порядка вплоть до границы S. Полагаем в первой формуле Грина V=U, и принимая во внимание, что U – гармоничная функция, получим: ò{S}U*¶U/¶n*ds = ò{D}[(¶U/¶x)2 + (¶U/¶y)2 + (¶U/¶z)2]dt => ò{S}U*¶U/¶n*ds ³ 0.
2. Применим вторую формулу Грина к функции Uи V =1. Тогда получим: ò{S}¶U/¶n ds = 0 – условие разрешимости неоднородной краевой задачи с условиями Неймана.
3. Применим формулу (1) к гармоничной функции U, получим: U(M0) = 1/4П* ò{S}[1/r* ¶U/¶n – U¶(1/r)/¶n]ds (*). Это означает, что значение гармоничной функции в любой точке внутри конечной области выражается через значение этой функции и её нормальной производной на границе этой области.
Замечание: т.к. все эти интегралы не содержат производных второго порядка от функции U, то для применимости этих формул достаточно предполагать, что гармоничная функция непрерывна только с производными 1го порядка вплоть до границы S.
Можно показать, что U(x,y,z) – гармоничная в области Д и имеет производные всех порядков внутри области Д.
Теорема2: о среднем арифметическом.
Значение гармоничной функции в центре шара равно среднему арифметическому её значений на поверхности этого шара.
Док–во: Пусть эта функция – гармоничная внутри шара, и пусть она непрерывна вместе с 1ой производной вплоть до поверхности шара. Пусть M0(x0,y0,z0) – центр шара, R – радиус, SR – поверхность. Применим формулу (*) к этому шару: U(M0) = 1/4П* ò{SR}[1/r* ¶U/¶n – U¶(1/r)/¶n]ds. На поверхности шара r = R. Примем во внимание то, что направление внешней нормали к поверхности S совпадает с направлением радиуса, тогда ¶/¶т = ¶/¶r => ¶(1/r)/¶r|r=R = –1/R2; U(M0) = 1/4ПR* ò{SR}[¶U/¶n]ds + 1/4ПR2* ò{SR}Uds. Т.к. ¶U/¶n*ds = 0, то окончательно U(M0) = 1/4ПR2* ò{SR}Uds = 1/4П* ò{0,П}ò{0,2П}U(r,q,j)*sinqdq, где U – функция в сферических координатах.
Лекция №9 за 27.10.2000
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.