Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 3

DU(x) + k²U(x) = –f(x). Для гармонических колебаний уравнение, описывающее амплитуду колебаний, является эллиптическим. Это уравнение Гельмгольца.

Лекция №3 за 15.09.2000

Уравнения Максвелла.

Е, Н – электрическая и магнитная напряжённости. Е=(Е₁,Е₂,Е₃), Н=(Н₁,Н₂,Н₃). В качестве переменных могут быть х=(х₁,х₂,х₃), t – время.

1.  div(eE)=r

2.  div(mH)=0

3.  rot E = –¶(mH)/¶t

4.  rot H = ¶(eE)/¶t + J + j

D=eE – индукция электрического поля, В=mН – индукция магнитного поля, j=gE – ток, g – проводимость, r – изолятор пространственный. Для решения уравнений первого порядка не существует метода решения. Rot rot A = grad div A – div grad A — основная формула для решений уравнений Максвелла. С помощью неё можно решить уравнения 3), 4). Rot rot H = ¶/¶t(e rot E) + rot J;

Grad div H – div grad H = ¶/¶t(e(–¶/¶t[mH])) + rot J +. – гиперболический тип. Аналогично с вектором Е. Если в среде присутствует проводящий элемент (медь,…), то добавляется дополнительное слагаемое. + mg ¶²H/¶t².

Задача Коши для одномерного волнового уравнения.

Волновое уравнение – это уравнение колебания струны.

(1) ¶²U/¶t² – a² ¶²U/¶x² = 0; –µ<x<µ, t>0 Þ AU_xx+2BU_xy+CU_yy+ F(…) = 0. D=В² – АС. В=0, А=1, С = –а², D = а² => уравнение гиперболического типа. Существует и вторая каноническая форма для канонического вида: dx/dt = a, dx/dt = –a – характеристики. dx/dt = (В±ÖВ² – АС)/А.

x – at=C₁, x + at = C₂ => x = x – at, h = x + at – новые переменные (4). Выполняя замену, получим: ¶²U/¶x¶h = 0 (5). Начальные условия: –µ<x<µ, t>0 => U(x,t)|_t=0=j(x), U_t(x,t)|_t=0 = y(x) (2). Пусть решение этой задачи (1) есть некоторая функция: (3) U(x,t) = f(x – at) + g(x + at). Если f и g ÎС²(R), то и решение U(x,t)ÎC²(R). Докажем, что это правильно:

Из уравнения (5) => ¶/¶x(¶U/¶h) = 0;

¶U/¶h(x, h) = V(x, h) – новое обозначение. Тогда (5) примет вид: (6) ¶V/¶x = d/dx(V|_h=const) = 0, V|_h=const – не зависит от x, т.е. V(x, h) = C(h) (7).

¶U/¶h(x, h) = V(x, h) => d/dh(U|_{x = const}) = C(h). Проинтегрируем обыкновенное дифференциальное уравнение и получим: U|_{x = const} = ò C(h)dh + C₁(x)

U = f(x) + g(h)

U = f(x – at) + g(x + at). Решение волнового уравнения для задачи Коши есть две волны.

Физическая интерпретация решения одномерного волнового уравнения.

1)  f(x – at).

Функция U(x, t) – есть отклонение в точке х в момент времени t. Рассмотрим некоторую фиксированную точку х₀. Пусть из точки х₀ в положительном направлении оси х в момент времени t=0 начинает двигаться наблюдатель со скоростью, равной а. Тогда, в момент времени t₁ он окажется в точке х₁ = х₀ + аt₁. Величина отклонения, которую наблюдатель будет видеть в точке х₁ в момент времени t₁ будет U(x₁, t₁) = f(x₁ – at₁) = f(x₀), т.е. будет той же самой, что и в t₀. Начальный профиль будет двигаться со скоростью а в положительном направлении оси Ох. U(x,t)|_t=0 = j(x) – начальный профиль. f(x – at) называется прямой бегущей волной. Аналогичные рассуждения относительно g.

2)  g(x + at) – называется обратная бегущая волна. В отрицательном направлении оси Ох.

Вывод: любое решение U(x,t) волнового уравнения (1) может быть представлено суперпозицией 2^х волн, прямой и обратной.

Решение задачи Коши для волнового уравнения.

(1)  ¶²U/¶t² – a²¶²U/¶x² = f(x,t), –µ<x<µ t>0

U(x,t)|_t=0 = j(x), U_t(x,t)|_t=0 = y(x) (2)

I. Задача Коши для однородного уравнения с заданными начальными условиями.

¶²V/¶t² – a² ¶²V/¶x² =0; V|_t=0 = j(x), V_t|_t=0 = y(x)

II. Задача Коши для неоднородного уравнения, но с однородными начальными условиями.

¶²W/¶t² – a² ¶²W/¶x² = f(x,t); W|_t=0 = 0, W_t|_t=0 = 0

I: Решение этой задачи будет таким: V(x,t) = F(x+at) + F(x–at) (3). Среди всех таких решений будем искать такое, которое бы удовлетворяло начальным условиям. V(x,0) = j(x) = F(x)+F(x), V_t(x,0) = y(x) = –aF`(x) + aF`(x) (4). Второе уравнение из (4) проинтегрируем и получим два уравнения для определения 2^х функций F и F:

F(х) + F(x) =j(x), –Ф(x) + F(x) = 1/aò{x₀,x}y(z)dz + C (5).