Из (5) => F(x) = j(x)/2 +1/(2a)ò{x0,x}y(z)dz + C/2, Ф(x) = j(x)/2 – 1/(2a)ò{x0,x}y(z)dz – C/2 (6). Из (6)®(3) с учётом, что х – аt и х + аt: U(x,t) = 1/2[j(x–at) + j(x+at)] + 1/(2a)ò{x–at, x+at}y(z)dz (7) – формула Даламбера – описывает свободные колебания бесконечной струны при заданных начальных возмущениях. Получили явный вид решения I.
Вывод: Предположив существование решения задачи Коши получили формулу (7), значит, это решение единственно. Если функция j(х) обладает производной 1го и 2го порядка, а y(х) производную 1го порядка, то формула (7) даёт искомое решение задачи Коши и доказать это можно подстановкой U(x,t) в уравнение I. Построив решение задачи Коши, тем самым доказали его существование. Такой метод построения решения называется методом характеристик.
II. Будем строить вспомогательную функцию c(x,t,t), которая удовлетворяет однородному уравнению: ctt = a2cxx и c|t=t = 0; ct|t=t = f(x,t) – это есть задача I, которая только что решена. w(x,t) = ò{0,t}c(x,t,t)dt (8) – решение задачи II. Проверим: по правилам дифференцирования интеграла с переменным верхним пределом по параметру, найдём: wt(x,t) = c|t=t (®0, начал. усл.)+ ò{0,t}ct(x,t,t)dt (9). Из (8), (9) => w(x,t) удовлетворяет нулевым начальным условиям: w(x,t)|t=0 = 0, wt(x,t)|t=0 = 0. Продифференцируем (9) ещё раз и используем начальные условия: wtt = ct|t=t + ò{0,t}ctt(x,t,t)dt = f(x,t) + ò{0,t}ctt(x,t,t)dt (10). wxx – ? wxx = ò{0,t}cxx(x,t,t)dt (11). a2 wxx = ò{0,t}a2 ctt(x,t,t)dt. Из (10), (11) => wtt – a2 wxx = f(x,t) + ò{0,t}[ ctt – a2cxx](®0)dt. Значит, функция w(x,t) представленная в виде (8) есть решение задачи II. Найдём её явное выражение: для нахождения функции c(x,t,t) можно воспользоваться формулой Даламбера: c(x,t,t) = 1/(2a)ò{x–a(t–t), x+a(t–t)}f(z,t)dz (12). Из (12)®(8) => w(x,t) = 1/(2a)ò{0,t}ò{x–a(t–t), x+a(t–t)}f(z,t)dzdt (13). Решение задачи: U(x,t) = V(x,t) + W(x,t).
Устойчивость задачи Коши к входным данным.
Покажем, что обе функции V(x,t) и W(x,t) устойчивы к малым изменениям входных данных. Формула Даламбера показывает, что функция j(х) имеет 1ю и 2ю производные, а y(х) – 1ю производную. Но существует масса задач, где такое не выполняется.
Теорема: Пусть U1(x,t) и U2(x,t) решения задачи Utt=a2Uxx, с начальными условиями U1(x,0) = j1(х) U1t(x,0) = y1(х), U2(x,0) = j2(х), U2t(x,0) = y2(х), тогда каковы бы ни были e>0, t1>0, существует такое d>0, зависящее от e и t1, что из неравенств |j1(x) – j2(x)|<d; |y1(x) – y2(x)|<d, для всех х Î(–µ, +µ) справедливо: |U1(x,t) – U2(x,t)| <e, "t £ t1.
Док–во: Используем формулу Даламбера для U1(x,t) и U2(x,t), тогда U1(x,t) – U2(x,t) = 1/2[j1(x–at) – j2(x–at)] + 1/2[j1(x+at) + j2(x+at)] + 1/2a ò{x–at, x+at}[y1(z) – y2(z)]dz. |U1(x,t) – U2(x,t)| £ 1/2|j1(x–at) – j2(x–at)| + 1/2|j1(x+at) + j2(x+at)| + 1/2a ò{x–at, x+at}|y1(z) – y2(z)|dz £ d/2 + d/2 + 1/2aò{x–at, x+at}ddz = d + dt £ d(1+t1); Выбираем d = e/(1+t1) Þ | U1(x,t) – U2(x,t)| £ e.
Вывод: малым изменениям начальных данных задач Коши соответствуют малые изменения решений. Следовательно, устойчивость задачи Коши доказано.
Если функции j1(х), j2(х), y1(х), y2(х) удовлетворяют следующим неравенствам: |j1(x) – j2(x)| <d; ò{–µ, µ}|y1(x) –y2(x)|dx < d, то для соответствующим им решениям U1, U2 будет справедливо: | U1(x,t) – U2(x,t)| < (1+1/2a)d, t>0. Для одномерного волнового уравнения задача Коши имеет непрерывную зависимость от начальных данных и в случае разрывных скоростей.
Устойчивость неоднородного волнового уравнения задачи Коши к малым изменениям неоднородности (к правой части).
Достаточно исследовать условия с нулевыми значениями. a2Uxx = Utt +f(x,t), U(0,t) = 0, Ut(0,t) = 0.
Теорема: Пусть U1(x,t) и U2(x,t) решения задачи с двумя правыми частями, U1(x,t) ~ f1(x,t), U2(x,t) ~ f2(x,t), тогда каковы бы ни были положительные числа e>0, T>0, существует такое d>0, зависящее от e и Т, что из неравенств: |f1(x,t) – f2(x,t)| < d(e,T), для всех значений х и для всех значений 0 £ t £ Т следует: | U1(x,t) – U2(x,t)| < e.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.