Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 6

Положив существование решения (1) – (3), мы его нашли в виде (4), следовательно, это решение единственно.

Решение неоднородной задачи методом Фурье.

Решение неоднородной задачи возможно, если известна полная система функций и соответствующие им собственные значения однородной задачи.

I. LU + f(M,t) = rU_tt (1), (g₁¶U/¶n + g₂U)_s = 0 (2) U(M,0) = 0, U_t(M,0) = 0 (3). Т.к. искомое решение принадлежит классу А, то по т. Стеклова оно может быть представлена в виде ряда Фурье по собственным функциям соответствующей однородной задачи.

U(M,t) = å{n=1,µ}Y_n(t)Ф_n(t) (4), Y_n(t) = 1/||Ф_n||² ò{D}r(p)U(p,t)Ф_n(p)dt_p (5). LФ/rФ = Y”/Y = – l – однородная задача. rФ_n = – LФ_n/l_n (6). Y_n(t) = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}ULФ_ndt = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}Ф_nLUdt (7), т.к. L=L^*. Из уравнения (1) следует LU = rU_tt – f(M,t) (8). Подставим (8) в (7), получим: Y_n(t) = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}rU_ttФ_ndt + 1/l_n||Ф_n||² ò{D}fФ_ndt (9). –Y”/l_n + f_n/l_n º Y_n. Y_n – есть решение уравнения Y”_n + l_nY_n = f_n. Т.к. условие (3) однородное, то Y_n(0) = 0 и Y’_n(0) = 0. Решение этой задачи можно представить в виде: Y_n(t) = ò{0,t}`Y<sub>n</sub>(t–t)*f<sub>n</sub>(t)dt, где`Y_n есть решение уравнения вида:`Y”<sub>n</sub> + l<sub>n</sub>`Y_n = 0,`Y<sub>n</sub>(0) = 0,`Y’_n(0) = 1.

`Y<sub>n</sub>(t) = C<sub>1</sub>cosÖl<sub>n</sub>t + C<sub>2</sub>sinÖl<sub>n</sub>t,`Y_n(0) = 0 = C₁,`Y’<sub>n</sub> = Öl<sub>n</sub>C<sub>2</sub>cosÖl<sub>n</sub>t =>`Y’_n(0) = 1 = Öl_nC₂ => C₂ = 1/Öl_n.`Y_n = 1/Öl_nsinÖl_nt. Y_n = 1/Öl_n ò{0,t}sinÖl_n(t–t)*f_n(t)dt (10). Подставим (10) в выражение (4) получим решение в виде ряда по соответствующим собственным функциям.

II. LU + f(M,t) = rU_tt (11), (g₁¶U/¶n + g₂U)_s = 0 (12) U(M,0) = j(M), U_t(M,0) = j₁(M) (13). Решение (11) – (13) будем искать в виде: U(M,t) = V(M,t) + W(M,t).

1)  V: LV = rV_tt, (g₁¶V/¶n + g₂V)_s = 0, V(M,0) = j(M), V_t(M,0) = j₁(M).

2)  W: LW + f(M,t) = rW_tt, (g₁¶W/¶n + g₂W)_s = 0, W(M,0) = 0, W_t(M,0) = 0.

III. LU + f(M,t) = rU_tt (14), (g₁¶U/¶n + g₂U)_s = b(t) (15) U(M,0) = j(M), U_t(M,0) = j₁(M) (16). Ищем решение в виде: U(M,t) = V₁(M,t) + W(M,t). Функция V₁ – это функция из функций V(M,t) непрерывных в области`В и имеющих в этой области непрерывные производные вплоть до 2<sup>го</sup> порядка. Причём V<sub>1</sub> должна удовлетворять краевым условиям (15). LW + f<sub>1</sub>(M,t) = rW<sub>tt</sub>, (g<sub>1</sub>¶W/¶n + g<sub>2</sub>W)<sub>s</sub> = 0, W(M,0) =`j(M), W_t(M,0) =`j₁(M), где f₁(M,t) = f(M,t) + LV₁ – rV_1tt;

`j(M) = j(M) – V₁(M,0);

`j₁(M) = j₁(M) – V_1t(M,0).

Свободные колебания круглой мембраны.

Будем рассматривать радиальные колебания круглой мембраны, которые зависят от радиуса. U(r,t) – функция колебаний. LU = ¶²U/¶r² + 1/r ¶U/¶r.

¶²U/¶r² + 1/r ¶U/¶r = 1/a² ¶²U/¶t², U|_r=R = 0; U|_t=0 = j(r), U_t|_t=0 = j₁(r). U(r,t) = W(r)T(t) – решение. W”T + 1/r W’T = 1/a² WT” умножим на 1/WT ¹ 0, т.к. ищем нетривиальное решение, получим: (W” + 1/r W’)/W = 1/a² T”/T = –l²

T” + а²l²T = 0

W” + 1/r W’ + l²W = 0 – уравнение Бесселя.

Лекция №6 за 06.10.2000

W” + 1/z W’ + W = 0 – уравнение Бесселя нулевого порядка. W(lr) = C₁J₀(lr) + C₂Y₀(lr). Из краевого условия U|_r=R=0 => W(lR)=0 => C₁J₀(lR) + C₂Y₀(lR) = 0.

Рис

Положим С₂=0, тогда C₁J₀(lR) = 0, положим С₁=1, тогда J₀(lR) = 0 => l_n = m_n/R. Тогда W_n(l_nr) = J₀(rm_n/R).

T”_n + a²l²_nT_n = 0 => T_n(t) = a_ncosal_nt + b_nsinal_nt. U(r,t) = å{n=1,µ}[ a_ncos(al_nt) + b_nsin(al_nt)]*J₀(rm_n/R), где a_n, b_n – коэффициенты ряда Фурье по бесселевым функциям. a_n = 2/(R²J²₁(m_n))*ò{0,R}rj(r)J₀(rm_n/R)dr, b_n = 2/(am_nRJ²₁(m_n))* ò{0,R}rj₁(r)J₀(rm_n/R)dr.

Уравнения параболического типа.

Они описывают нестационарное распространение тепла и диффузии. ¶U/¶t = k₀¶²U/¶x², k₀ – коэффициент теплопроводности, хÎ(0,L), U(0,t) = T₁, U(L,t) = T₂, U|_t=0=T₀. k₀¶²U/¶x² = 0. U(x) = ((T₂ – T₁)/L)*x + T₁. При стационарном процессе потоки тепла, водящие в любое поперечное сечение и выходящие их него, равны между собой. Следовательно, поток должен быть постоянен в любой произвольной точке х. Это означает, что по закону Фурье это достижимо при линейном профиле температуры. W= –cgradT. Для уравнения теплопроводности существует тип решений, который имеет вид бегущей волны в стационарных формах. U = f(x–wt) (1). C¶U/¶t = ¶/¶x(k¶U/¶x) (2). Подставим (1) в (2), получим: –cwf’=(kf)’ (3). Уравнение (3) это линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами. f(x) = A + Bexp{–cw/k x}, x = x–wt.