Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 18

Пример: Необходимо определить плотность материальной точки с массой, равной 1. Пусть эта точка начало координат. Распределим эту массу по шару U_e, тогда получим среднюю плотность f_e(x) = { 3/(4Пe³), |x| <e, 0 ,|x| > e. Обозначим d(х) – плотность. В качестве d(х) примем поточечный предел средних плотностей f_e(x), при e->0. d(х) = lim{e->0}f_e(x) = { +µ, x=0, 0, x¹0 (1). От плотности d естественно потребовать, чтобы интеграл от неё по любому объёму V давал массу вещества, заключённого в этом объёме. ò{V}d(x)dx = {1,0ÎV, 0, 0ÏV (2). Но в силу (1), левая часть (2) всегда будет равна нулю. Это противоречие доказывает, что поточечный предел f_e(x) не может быть взят в качестве d(х). Вычислим слабый предел f_e(x) при e->0. Для любой функции j(х) найдём предел числовой последовательности òf_e(x)j(x)dx при e->0. Можно показать, что этим пределом будет являться функционал j(0), который сопоставляет каждой непрерывной функции j(х) число j(0), т.е. её значение в точке х=0. Lim{e->0}òf_e(x)j(x)dx = j(0) – это есть определение плотности.

Применение интеграла Римана позволяет подчеркнуть связь между распределением (обобщённым решением) и обычными функциями. òd(х)dx =1. «ò{–µ,+µ}f(x)j(x)dx» j(0) (1). «ò{–µ,+µ}d(x)j(x)dx»j(0),  вводим вместо f(x) функцию d(х), или более общий случай «ò{–µ,+µ}d(x–а)j(x)dx»j(а). d¢(x) вводится следующим образом, так чтобы было возможно выполнение процедуры интегрирования по частям. d¢(х) = «ò{–µ,+µ}d¢(x–а)j(x)dx» – j¢(а) (2). Если f(x) любая функция, например, кусочно-линейная, не обязательно дифференцируемая в обычном смысле, то её обобщённая производная вычисляется следующим образом: «ò{–µ,+µ}f¢(x)j(x)dx» = –ò{–µ,+µ}f(x)j¢(x)dx (3). Соотношение (3) справедливо для любой функции j(х), непрерывно дифференцируемой для любого х из области определения, и она должна обращаться в нуль вне некоторого конечного интервала. d(х), d¢(х), f¢(x) определяются не значением аргумента "х, значением «интеграла, которорые записаны для некоторого класса функций. Каждое выражение (1) – (3) линейно зависит от j(х), можно сказать, что обобщённая функция есть линейный функционал на выбранных надлежащим образом классе пробных функций j(х). Различные классы пробных функций порождают различные классы обобщённых функций. Чтобы охватить как можно больше класс нужно выбирать j(х) максимально гладкими, причём они должны обращаться в нуль вне некоторого конечного интервала.

Опр.: Носителем функции j(х) называется множество тех точек х, для которых j(х) ¹ 0.

Метод взвешенных невязок.

Пусть дано ДУ: LU=0 (1), начальное условие: lU = 0, краевое условие: SU = 0. Введём понятие приближённого решения: U_a. LU_a = R, lU_a = R_l, SU_a = R_s (2). Как строить приближённое решение: 1. Чтобы ДУ выполнялось точно (R=0) – это граничный метод, 2. Граничные условия выполнялись точно (R_s = 0) – это внутренний метод, 3. Никакие условия не выполняются (R¹0, R_l¹0, R_s¹0) – это смешанный метод. Введём скалярное произведение (внутренне произведение): (f,g) = ò{D}fgdx. U_a (x,t) = U₀(x,t) + å{j=1,n}a_j(t)j_j(x) (3). j_j(х) – некоторые известные функции, которые вводятся как пробные. Решение (3) будем называть пробным. Определению подлежат a_j(t). Функция U₀(x,t) выбирается таким образом, чтобы начальные и краевые условия выполнялись точно. Если уравнение (1) стационарное, то получаем СЛАУ относительно а_j. Для того чтобы получить уравнения относительно а_j внутренне произведение взвешенных невязок полагается равным нулю. (R,w_k(x)) = 0, k=1,…,n (4). w_k(x) – тестовые функции. Функции w_k(x) должны быть независимыми функциями, что позволяет найти необходимое число условий. Если w_k принадлежат полной системе функций, то при n->0 соотношение (4) говорит, что R ортогонально каждому элементу системы функций. Такое утверждение предполагает стремление невязки к нулю в среднем. Если такая сходимость имеет место и представление (3) обеспечивает выполнение граничных условий, то можно ожидать сходимость приближённого решения U_a к точному решению уравнения (1) в среднем. Lim{N->µ}||U–U_a||. Такую сходимость можно сравнить с равномерной сходимостью, которая определяется условием: Lim{N->µ}||U_a – U||_µ = 0. (U_a=max|U_a–U|). Форма уравнения (4) это слабая форма уравнения (1). (LU,w) = 0. (5)

(f,g) можно ввести дискретным образом: (f,g) = å{i=1,N}f_i,g_i. (6). Если ввести скалярное произведение в виде (6), то получится дискретный метод взвешенных невязок. Использование численного интегрирования при решении (4) есть дискретный метод взвешенных невязок.