Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 15

Введём в рассмотрение сопряжённое ядро К^*(x,s) = , тогда y(х) = lò{a,b}K^*(x,s)y(s)ds будет сопряжённым. Если рассматривать интегральное уравнение с вырожденным ядром, то y(x) = lò{a,b}å{i=1,n}a_i(s)b_i(x)y(s)ds + g(x) (*); y(х) = g(x) + lå{i=1,n}C_i^*b_i(x); C_i^* = ò{a,b}y(s)a_i(s)ds, i=1,…,n

C_i^* – lå{j=1,n}K_jiC_j^* = g_i ,i=1,…,n

C_i^* – lå{j=1,n}K_jiC_j^* = 0 – соответствующее однородное уравнение (11).

Однородное уравнение (11) является сопряжённым относительно однородной системы (6). Обе эти системы, (11) и (8), имеют одинаковое число р линейно независимых решений. Следовательно, если {C₁^(t),…, C_n^(t)} суть не нулевые вектор-функции, то функция y_t(х) = å{i=1,n}C_i^*(t)b_i(x) собственная функция однородного уравнения, соответствующего (*). Тогда y(х) = å{t=1,p}a_ty_t(x).

Теорема: Если l есть характеристическое число ядра К(x,s), то однородное интегральное уравнение, соответствующее (2), и сопряжённое с ним, соответствующее (*), имеют одно и то же конечное число линейно независимых собственных функций.

Лекция №12 за 28.11.2000

j(х) = l*å{i=1,N}a_i(x)*ò{a,b}b_i(s)j(s)ds + f(x) (1), l – характеристическое, f_i = C_i – l*å{j=1,N}K_ijC_j (2). Для того чтобы (2) было разрешимо необходимо, чтобы правая часть была ортогональна ко всем вектор-решениям соответствующей однородной системы. å{i=1,N}fi*Ci^*(j) = 0, j=1,…,p. F_i = ò{a,b}f(x)b_i(x)dx => ò{a,b}f(x)å{i=1,N}C_i^*(j)b_i(x)dx = ò{a,b}f(x)y^(j)(x)dx = 0, j = 1,…,p (*).

Теорема: Неоднородное интегральное уравнение (1) с вырожденным ядром и при характеристическом параметре l будет разрешимо тогда и только тогда, когда f(x) будет ортогональна ко всем решениям сопряженного однородного интегрального уравнения y(x) = l*å{i=1,N}b_i(x)ò{a,b}a(s)f(s)ds.

Вопрос разрешимости уравнения требует проверки условия (*). Если они выполнены, то уравнение (1) имеет бесконечное множество решений. j(х) = j₀(х) + j^*(х), j^*(х) – общее решение однородного уравнения, эквивалентного (1), j₀(х) – частное решение (1).

Теорема:(об альтернативе)

Если однородное интегральное уравнение Фредгольма с вырожденным ядром имеет только тривиальное решение, то неоднородное уравнение, соответствующее ему, всегда имеет одно и только одно решение. Если однородное уравнение имеет нетривиальное решение, то неоднородное уравнение, в зависимости от правой части, имеет либо бесконечное множество решений, либо не имеет ни одного решения.

Интегральное уравнение с непрерывным ядром.

Если К(x,s) невырожденное ядро, то можно построить вырожденное ядро Н(x,s), близкое к К(x,s), при этом можно построить решение Z(x,s), которое будет близким к истинному решению, или построить последовательность ядер {H(x,s)}, которая будет сходится к К(x,s), и получить последовательность решений {Z(x,s)}, которая будет сходиться к истинному решению.

Решение интегральных уравнений методом последовательных приближений.

Пусть дано уравнение: j(x) = l*ò{a,b}K(x,s)j(s)ds +f(x) (1). Ядро К(x,s) непрерывно в прямоугольнике Q = {x³a, s£b}, f(x)ÎC(a,b). Введём оператор: Аj = ò{a,b}K(x,s)j(s)ds, тогда уравнение (1) можно записать в виде: j = lАj + f => (I – lA)j = f (2). В теории линейных операторов есть теорема:

Теорема: Линейный ограниченный оператор А, отображающий банахово пространство в само себя, и ||A|| £ q <1 обладает свойством: (I+A) имеет обратный и ограниченный оператор.

Если |l|*||A||<1, то уравнение (1) имеет единственное решение, которое имеет вид: j = (I–lA)^-1f = f + lAf + l²A²f + … + lⁿAⁿf + …(3). – это ряд Неймана.

Пусть max{Q}|K(x,s)| = M, т.е. ядро ограничено, и это справедливо для уравнения: Aj = ò{a,b}K(x,s)j(s)ds, при этом j(х)ÎС(a,b), тогда если ||j||<1, то ||Aj|| = max{Q}|ò{a,b}K(x,s)j(s)ds| £ max{Q}ò{a,b}|K(x,s)|*|j(s)|ds £ M(b–a)max{Q}|j(s)| £ M(b–a)||j|| £ M(b–a). Отсюда следует, что ||A|| = sup{||j||£1}||Aj|| £ M(b–a). Это соотношение есть оценка нормы интегрального оператора Фредгольма сверху. Эта оценка достаточно грубая, но из неё следует, что условие |l|*||A||<1 или |l|<1/||A|| будет выполняться, если |l|<(M(b–a))^-1 (*).