Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла

Лекция №1 за 01.09.00

Линейные ДУ в частных производных второго порядка.

Пусть U(x), x=(x₁, …, x_m), функция, тогда ДУ в частных производных 2^го порядка будет иметь вид: å{j,k=1,m}А_jk(х) ¶²U/¶х_j¶х_к + å{k=1,m} А_к(х) ¶U/¶x + А₀(х)U(х)=f(x) (1). А_jk, А_k, А₀, f(x) – заданные функции от х. Будем полагать, что А_jk(х) = А_kj(х) (2). Симметричная матрица А_jk(х) называется матрицей старших коэффициентов.

Классификация уравнений в частных производных 2^го порядка.

Уравнения классифицируются в зависимости от собственных значений матрицы старших коэффициентов. Т.к. матрица симметрична, то все значения будут действительными. Зафиксируем некоторую точку х и определим в этой точке значение А_jk. Пусть матрица имеет a положительных собственных значений, b отрицательных собственных значений, g нулевых собственных значений, причём a+b+g=m. Будем говорить, что (1) в точке х принадлежит типу {a,b,g}. Оно будет принадлежать этому типу на некотором точечном множестве, если оно принадлежит этому типу в каждой точке этого множества. Если матрица старших коэффициентов будет постоянной, то тип уравнения будет таким же на всём пространстве. При изменении знака в уравнении (с «+» на «–») тип уравнения не изменяется, т.е. {a,b,g} º {b,a,g}.

I.  Тип {m,0,0} º {0,m,0} – эллиптический тип. Все собственные значения отличны от нуля и одного знака.

II.  Тип {m-1,0,1} º {0,m-1,1} – параболический тип. Одно нулевое значение и m-1 значение одного знака.

III.  Тип {m-1,1,0} º {m-1,1,0} – гиперболический тип. Все собственные значения ненулевые, но одно отличается знаком.

Приведение к каноническому виду.

Пусть дано уравнение (1). Вместо х₁,…, х_m введём новые переменные x_r=x_r(x₁,…,x_m), r=1,m (4), тогда А_jk(х) ¶²U/¶х_j¶х_к + Ф(…) = f(x). (3) Пусть в некоторой точке х преобразование (4) взаимно однозначно, его якобиан отличен от нуля. Имеет место невырожденное преобразование независимых переменных. Пусть функции x_r имеют непрерывные частные производные вплоть до второй. Вычислим вторые производные, сделаем замену и подставим в (3), получим: А_jk¶x_r/¶x_k ¶x_s/¶x_j ¶²U/¶x_r¶x_s + Ф₁(…) = 0

А_jk¶x_r/¶x_k ¶x_s/¶x_j =`А_rs (5)

`А_rs ¶²U/¶x_r¶x_s + Ф₁(…) = 0 (6)

Вывод: при преобразовании независимых переменных уравнение (3) переходит в уравнение того же вида.`А<sub>rs</sub> º`А_sr

Теорема: Тип уравнения в частных производных (3) не изменяется при невырожденном преобразовании независимых переменных.

Док-во: Пусть некоторая симметричная матрица невырожденными преобразованиями приведена к диагональному виду. Тогда количество положительных, отрицательных и нулевых собственных значений заданной матрицы будет равно количеству положительных, отрицательных и нулевых диагональных элементов. Пусть J матрица преобразования (4). Т.к. якобиан не нуль, то существует J^-1. А_jk¶x_r/¶x_k ¶x_s/¶x_j =`А<sub>rs</sub>,`А=JAJ^-1 (7), А=sДs^-1. Линейное преобразование с матрицей s приводит матрицу А к диагональной форме.`А=(Js)D(Js)<sup>-1</sup> Матрица`А сводится невырожденными преобразованиями к матрице Д, следовательно тип сохраняется.

Пусть x_r=j_rkx_k => x=Jx (8). Зафиксируем точку х, тогда матрица старших коэффициентов станет матрицей с постоянными коэффициентами, тогда получим`А=JAJ<sup>-1</sup>.`A_jk=0, j¹k. Тогда в зафиксированной точке х уравнение превратится: å{к=1,m}n_к ¶²U/¶x² +`Ф(…) =0, где n_к=А_кк. Это уравнение второго порядка, где отсутствуют смешанные производные.

Опр. Вид уравнения 2^го порядка, в котором отсутствуют смешанные производные, называется каноническим.

Вывод: уравнение в частных производных 2^го порядка, линейное относительно старших производных, можно в любой точке пространства привести к каноническому виду при помощи линейных невырожденных преобразований независимых переменных.

Характеристики.

А_jk¶x_r/¶x_k ¶x_s/¶x_j = 0 – уравнение, характеризующее дифференциальное уравнение. Допустим нашли функцию x, удовлетворяющую этому уравнению. Функция x(х₁,…,х_m) = const называется характеристической поверхностью. Она инвариантна при преобразовании независимых переменных.

Приведение к каноническому виду уравнения 2^го порядка с двумя независимыми переменными.

АU_хх + 2ВU_ху + СU_УУ + Ф = 0 (*) D=В²–АС. D>0 – гиперболический тип, D=0 – параболический тип, D<0 – эллиптический тип. Пусть во всей области определения уравнение (*) таково, что коэффициенты А и С не обращаются в нуль одновременно. Сделаем замену:x=x(х,у), h=h(х,у), получим:

`АU<sub>xx</sub> + 2`BU_xh +`CU<sub>hh</sub> + Ф<sub>1</sub>(…)=0 (**), где`А=Аx²_х + 2Вx_хx_у + Сx²_у,`С=Аh<sup>2</sup><sub>х</sub> + 2Вh<sub>х</sub>h<sub>у</sub> + Сh<sup>2</sup><sub>у</sub>,`В=Аx_хh_х + В[x_хh_у+h_хx_у] + Сx_уh_у.

Лекция №2 за 08.09.00

Основные уравнения математической физики.

1.  Уравнения колебаний

Такими уравнениями описываются все волновые процессы. rd²U/dt² = div(pgradU) – qU + F(x,t) (1), r,р,q – коэффициенты, определяющиеся свойствами среды, F(x,t) – интенсивность внешнего воздействия, х=(х₁, х₂, х₃), t – время. div(pgradU) = å{i=1,3}¶/¶х_i(р¶U/¶x_i). Выведем уравнение (1) на примере малых поперечных колебаний струны.