Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 5

Док–во: U(x,t) = 1/2aò{0,t}ò{x–a(t–t),x+a(t–t)}f(z,t)dtdz. |U₁(x,t) – U₂(x,t)| £ 1/2aò{0,t}ò{x–a(t–t), x+a(t–t)}|f₁(z,t) – f₂(z,t)|dtdz £ d/2aò{0,t}ò{x–a(t–t), x+a(t–t)}dtdz = dt²/2 £ dT²/2; Выберем d=2e/Т², получим |U₁(x,t) – U₂(x,t)| < e.

Методы решения краевых задач. Метод Фурье.

Искомое решение представляется в виде ряда Фурье по некоторой ортогональной системе функций. Это метод можно использовать, когда краевые условия заданы на координатной поверхности.

L – ¶²/¶х² + ¶²/¶y² + ¶²/¶z² – оператор Лапласа.

Гиперболическая краевая задача.

Необходимо найти функцию U(M,t); t>0, где U удовлетворяет уравнению: LU = rU_tt (1). Начальные условия: U(M,0) = j(M), U_t(M,0) = j₁(M) (3). Краевые условия (g₁¶U/¶n + g₂U)_s = 0 (2), где n – внешняя нормаль. Ищем решение в области Д, ограниченной гладкой поверхностью S. Функция U непрерывна в замкнутой области`В = {MÎ`D, t³0}. Уравнение (1) и краевое условие (2) в этой задаче линейны и однородны. Если функции U₁ и U₂, удовлетворяют (1) и условию (2), то C₁U₁ + C₂U₂ будет решением (1) и удовлетворять условию (2). С помощью таких суперпозиций, охватывающих все линейно независимые частные решения, попытаемся удовлетворить условию (3). Найдём нетривиальное решение (1), удовлетворяющее условию (2) в классе функций вида: Ф(М)Y(t), при этом Ф(М) непрерывна в замкнутой области Д, а Y(t) непрерывна "t³0. Подставим такую функцию в уравнение (1) и разделим получившееся выражение на rФ(М)Y(t), получим: LФ/rФ = Y”/Y (4). Для того чтобы (4) было тождественно необходимо и достаточно, чтобы левая и правая часть (4) были равны одной и той же константе. LФ/rФ = –l = Y”/Y (5). Из (5) => Y” + lY º 0 (6), LФ + lrФ º 0 (7). Функции Y и Ф будут решениями уравнений: Y” + lY = 0 (8), LФ + lrФ = 0 (9), тогда выполняются тождества (6) и (7). При этом (g₁ ¶Ф(М)Y(t)/¶n + g₂Ф(М)Y(t))_s = 0 (10). Функция Ф(м) удовлетворяет задаче (9), (10). Это задача Штурма–Лиувилля, которая имеет нетривиальное решение не при всех значениях l. Для однородной или неоднородной задачи, поставленной в области Д, определим класс А функций Ф(М).

1 тип: к классу А отнесём все непрерывные в замкнутой области Д функции Ф(М), обращающиеся в нуль на поверхности S.

2 тип: функции, непрерывные в области Д вместе со своими производными 1^го порядка, причём производные по координатам точки М, и удовлетворяющие условию ¶Ф/¶n|_s = 0.

3 тип: то же определение, что и для 2^го типа, но на границе (g₁ ¶Ф/¶n + g₂Ф)_s = 0.

Если коэффициент r и другие определяющие уравнение (1) коэффициенты непрерывны и неотрицательны в замкнутой области Д, то тогда справедлива следующая теорема.

Теорема: Существует бесконечное, счётное множество собственных значений l_n и соответствующих им собственных функций Ф_n для задачи (9), (10), принадлежащих классу А.

Лекция №5 за 29.09.2000

Решаем задачу (1), (2):

U(м,t) = å{n=1,µ}(C_ncosÖl_nt + D_nsinÖl_nt)Ф_n(M) (4). С_n и Д_n нужно выбирать таким образом, чтобы удовлетворить начальным условиям.

Теорема2: В непрерывной замкнутой области`В={MÎ`Д, t³0} решение задачи LU=rU_tt (1) (g₁ ¶U/¶n + g₂U)_s = 0 (2), U(M,0) = j(M), U_t(M,0) = j₁(M) (3) принадлежащее соответствующему классу А, при фиксированном t³0 для уравнения гиперболического типа может быть представлено в виде ряда (4), где C_n = 1/||Ф_n||² ò{D}r(p)j(p)Ф_n(p)dt_p, D_n = 1/(Öl_n ||Ф_n||²) ò{D}r(p)j(p)Ф_n(p)dt_p , ||Ф_n||² = ò{D}r(p)Ф_n²(p)dt_p. Это коэффициенты ряда Фурье по системе функций Ф_n.

Док–во: пусть U(M,t) искомое решение. Т.к. эта функция "t>0 принадлежит классу А, то по теореме Стеклова это решение можно представить в виде ряда Фурье: U(M,t) = å{n=1,µ}Y_n(t) Ф_n(t) (5). В представлении (5) Y_n(t) = 1/||Ф_n||² ò{D}r(p)U(p,t)Ф_n(p)dt_p (6). LФ_n + l_nrФ_n = 0 => rФ_n = – LФ_n/l_n (7). Подставим (7) в (6) => Y_n(t) = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}ULФ_ndt_p = –1/l_n||Ф_n||² (U,LФ_n). Если учесть само сопряжённость оператора L, то Y_n = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}LUФ_ndt. Используем уравнение (1), Y_n = –1/l_n||Ф_n||² ò{D}rU_ttФ_ndt (8). Из (6) и (8) => Y_n º –Y”/l_n => Y_n + l_nY_n = 0. Если найти функцию, удовлетворяющую этому уравнению, то Y_n(t)= C_ncosÖl_nt + D_nsinÖl_nt. C_n = Y_n(0) = 1/||Ф_n||² ò{D}r(p)U(p,0)Ф_n(p)dt_p = 1/||Ф_n||² ò{D}r(p)j(p)Ф_n(p)dt_p, D_n = Y’_n(0)/Öl_n = 1/(Öl_n||Ф_n||²) ò{D}r(p)j₁(p)Ф_n(p)dt_p.