Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 19

Метод коллокаций.

U(x) = U₀(x) + å{j=1,N}a_jj_j(x). Если в качестве w_k задать d-функции Дирока, т.е. w_k(x) = d(x–x_k), то решение уравнения (4) сводится к тому, что R(x_k)=0. Существует метод коллокаций в экстремальной точке, при котором невязки вычисляются в нулях некоторого полинома (полинома Чебышева). R(x_i^k – (–1)ⁱR(x₀^k)) = 0. Метод коллокаций может быть различным из-за выбора пробных функций.

Метод наименьших квадратов.

В качестве тестовых функций используются следующие выражения: w_k = ¶R/¶a_k (*), где а_к – неизвестные коэффициенты, которые мы определяем. Следовательно, выбор w_k в виде (*) эквивалентно выбору а_к, которые базируются на условии min (R,R).

Метод моментов.

В качестве w_k берут х^к, к=0,1,…,N.

Метод Галёркина.

В методе Галёркина w_k выбирается из того же класса, что и пробная функция j(х), т.е. w_k(x) = j_k(x), k=1,…,N. В классическом методе w_k и j_k выбираются из первых n функций некоторой полной системы, это необходимое условие сходимости к решению при N->µ.При применении классического метода Галёркина необходимо выполнение следующих условий: 1. w_k = j_k, 2. w_k и j_к должны быть линейно независимыми, 3. w_k и j_k должны быть первыми N функциями некоторой полной системы, 4. j_к(х) должны удовлетворять краевым условиям в точности. Условие 1: определение метода, условие 2: необходимо для получения независимых уравнений для нахождения a_j, условия 3 и 4: связаны с эффективностью метода.

Обобщённый метод Галёркина.

В качестве w_k используют некоторую аналитическую функцию Р_к(х). Она должна быть аналогичной функции j_к(х) и может содержать некоторые дополнительные члены или множители, которые должны удовлетворять дополнительным требованиям к решению. m[¶²U/¶x² + ¶²U/¶y²] + n¶U/¶y + U₁¶U/¶x = f(x,y). `V = (`n,`U<sub>1</sub>) div`V=0.

Лекция №15 за 15.12.2000

Связь метода Галёркина и Релея-Ритца.

Существует утверждение: всегда имеется метод Галёркина, соответствующий некоторому вариационному методу, а именно, методу Релея-Ритца. Обратное неверно. Приближённое решение, найденное по методу Релея-Ритца, всегда приближается к точному либо верхним, либо нижним пределом. Это справедливо и для метода Галёркина. AU=f (1), А=А^т – положительно определённый. Решение (1) эквивалентно минимизации функционала F(U) = (AU,U) – 2(F,U) (2). Ищем решение по методу Релея-Ритца U_a(x) = å{j=1,n}a_jj_j(x) (3). j_j должны быть элементами наинизшего порядка полной системы функций, и они должны быть линейно независимыми. Подставим (3) в (2), получим: F(U) = å{j,k=1,n}(Aj_j,j_k)a_ja_k – 2å{j=1,n}(j_j,f)a_j (4). ¶F(U_k)/¶a_k = 0, k=1,…,n (5). Из (4) в соответствии с (5) следует: ¶F(U_a)/¶a_k = 2å{j=1,n}(Aj_j,j_k)a_j – 2(j_k,f) = 0 => å{j=1,n}(Aj_j,j_k)a_j = (j_k,f) (6), k=1,…,n. Получили СЛАУ.

При решении задач, допускающих соответствующую вариационную форму, свойства сходимости для метода Релея-Ритца распространяются на метод Галёркина. Пусть дано (1), тогда решение эквивалентно минимизации функционала (2). Определим энергетическое скалярное произведение, связанное с оператором А: [U,V] = (AU,V) (7). Обозначим U_e точное решение (1). F(U) = [U,U] – 2[U_e,U] (8); F(U) = [U–U_e,U–U_e] – [U_e,U_e] (9); F(U) = ||U–U_e||²_A – ||U_e||²_A (10). ||U||²_A конечна, если оператор А положителен и ограничен снизу, причём правая часть (1) должна иметь конечную норму. А положителен и ограничен снизу, если (AU,U) ³ g² ||U||²₂ , g – const. Построим последовательность функций {U_k}. Эта последовательность будет минимизирующей, если lim{k->µ}F(U_k) = d (11), где d – наибольший нижний предел F(U). Любая последовательность, удовлетворяющая (11), сходится по энергии к решению (1). Сходимость по энергии означает, что U_k сходится к U_e, если ||U_k – U_e||_A -> e, при к->µ (12). Метод Релея-Ритца позволяет получить последовательность функций U_k, сходящихся по энергии к U_e, при условии, что U_e есть решение с конечной энергией. U_a = å{j=1,n}a_jj_j(x), пробные функции j_j должны удовлетворять некоторым условиям: 1) последовательность j₁, …,j_n должна быть полна по энергии, 2) она должна быть линейно независимой. Решение Релея-Ритца совпадает с решением Галёркина для уравнения (1). Для классической задачи, характеризующейся уравнением типа (1), свойства сходимости, соответствующие методу Релея-Ритца, соответствуют методу Галёркина.