Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 7

Рис

U(x,t) = A+Bexp{(x–wt)*(–cw/k)}, А – это температура на бесконечности, т.е. там, куда тепло ещё не дошло. Прогрев вещества, по которому со скоростью w распространяется вправо тепловая волна. f(x–wt)|_x–wt=0 = U₀.

Общий подход к решению.

Рис.

S – граница W, Г состоит из нижнего основания и части боковой поверхности.

Первая краевая задача.

Пусть W конечная область трёхмерного пространства XYZ. Q в пространстве XYZt цилиндр. Рассмотрим задачу: ¶U/¶t = a²[¶²U/¶x² + ¶²U/¶y² + ¶²U/¶z²] (1), U|_t=0 = f(x,y,z), (x,y,z)Î`W (2), U|_s = y(p,t), tÎ[0,T] (3).

Теорема (о max (min)): Функция U(x,y,z,t), удовлетворяющая однородному уравнению (1) внутри цилиндра Q_T и непрерывна вплоть до её границы, принимает наибольшее (наименьшее) значение или при t = 0, или на боковой поверхности цилиндра.

Док–во: Пусть М – наибольшее значение функции U в цилиндре Q_T, а m – наибольшее значение функции U на границе Г. Предположим, что существует такое решение U(x,y,z,t), что M>m. Пусть эта функция принимает значение М в точке (x₀, y₀, z₀, t₀), где (x₀, y₀, z₀)ÎW; t₀Î[0,T]. Рассмотрим вспомогательную функцию V(x,y,z,t) = U(x,y,z,t) – ((M–m)/6d²)*[(x–x₀)² + (y–y₀)² + (z–z₀)²]; где d – диаметр области W. На боковой поверхности цилиндра и на его нижнем основании V(x,y,z,t) £ m + (M–m)/6 = M/6 + 5m/6 < M; V(x₀, y₀, z₀, t₀) = M. Следовательно функция V также как и U не принимает наибольшее значение ни на боковой поверхности цилиндра, ни на основании. В силу непрерывности V она должна принимать наибольшее значение в некоторой точке (x,y,z,t), (x,y,z)ÎW, 0£t£T. Тогда в этой точке вторые производные ¶²V/¶x², ¶²V/¶y², ¶²V/¶z² не положительны, а ¶V/¶t ³ 0 => ¶V/¶t – a²[¶²V/¶x² + ¶²V/¶y² + ¶²V/¶z²] ³ 0 (*). ¶V/¶t = ¶U/¶t, ¶²V/¶x² + ¶²V/¶y² + ¶²V/¶z² = ¶²U/¶x² + ¶²U/¶y² + ¶²U/¶z² + (M–m)/d² => ¶V/¶t – a²[¶²V/¶x² + ¶²V/¶y² + ¶²V/¶z²] = {¶U/¶t – a²[¶²U/¶x² + ¶²U/¶y² + ¶²U/¶z²]} – a²(M–m)/d² £0, т.к. величина, стоящая в фигурных скобках равна нулю. Получили противоречие (*).

Следствия:

1.  Решение первой краевой задачи (1) – (3) в цилиндре Q_T единственно.

Док–во: если бы имели два решения U₁ и U₂, то U₁ – U₂ = w, удовлетворяющая однородному уравнению, должна была обратиться в нуль при t = 0 или на поверхности S, тогда w|_t=0 = 0 в силу доказанной теоремы. Значит, U₁ = U₂.

2.  Решение задачи (1) – (3) непрерывно зависит от правых частей краевых и начальных условий. U|_t=0 = f, U|_s = j.

Док–во: Если разность f и j не превосходит по абсолютной величине некоторое e, то и разность решений w = U₁ – U₂, w|_t=0 = e, w|_s = e по абсолютной величине не превосходит e.

Такие задачи относятся к классу задач, корректных по Адамару.

Метод разделения переменных для решения задач уравнений теплопроводности. Метод Фурье.

LU = a²¶U/¶t (1) в (W), (g₁¶U/¶n + g₂U)_s = 0 (2), U(M,t)|_t=0 = j(M) (3)`B={MÎ`W; t³0}

1) U(M,t) = Ф(М)T(t) => для Ф(М) – задача Штурма–Лиувиля

2) Решаем задачу Штурма–Лиувиля и находим {Ф_n(М)}, {l_n}

3) T_n’(t) + l_nT_n = 0

T_n(t) = C_nexp{–l_nt}

4) U_n(M,t) = C_nexp{–l_nt}Ф_n(М)

5) U(M,t) = å{n=1,µ} C_nexp{–l_nt}Ф_n(М) (4).

Теорема: Непрерывное в замкнутой области В решение задачи (1) – (3), принадлежащее соответствующему классу А, при фиксированном t ³0 для уравнения параболического типа может быть представлено в виде (4), где С_n = 1/||Ф_n||²*ò{W}a²j(p)Ф_n(p)dt_p.

Лекция №7 за 13.10.2000

Задача Коши для параболического уравнения.

U_t = a²U_xx (1) t>0, xÎ(–µ, µ)

U(0,x) = j(x) (2) j(x) – непрерывная и ограниченная.

Единственность решения