Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 8

Покажем, что задача (1), (2) имеет единственное решение. Будем предполагать, что решение U(x,t) ограничено во всей области определения. Существует такое число М, что |U(x,t)|<М. Пусть U₁ и U₂ два решения уравнения (1), удовлетворяющие одному и тому же начальному условию (2). Обозначим w=U₁ – U₂. Тогда w будет удовлетворять уравнению (1) и w|_t=0=0. Кроме того, w будет ограничена во всей области, т.е. |w| £ |U₁| + |U₂| £2M. Теорема о максимуме (минимуме) для неограниченной области применить нельзя, т.к. w(x,t) может нигде не достигать max (min). Введём в рассмотрение некоторую конечную область Х, |X| £ L, 0 £ t £ T (3). Введём функцию V(x,t) = (4M/L²)*[x²/2 + a²t]. Эта функция удовлетворяет (1). При t=0, x = ±L V(x,0) ³ w(x,0) = 0, V(± L,t) ³ 2M ³w(± L,t). Теперь можно применить теорему о max (min) к разности V(x,t) – [± w(x,t)]. Всё это можно проделать в области (3). V(x,t) – w(x,t) ³ 0, V(x,t) + w(x,t) ³ 0 => –V(x,t) £ w(x,t) £ V(x,t) => |w(x,t)| £ V(x,t) = (4M/L²)* [x²/2 + a²t]. Выбирая достаточно малым L и фиксируя (x₀, t₀) можно сказать, что w(x₀, t₀) < e. В силу произвольного выбора (x₀, t₀) можно сказать, что w(x,t) = 0. Значит, двух различных решений задачи Коши при одном начальном условии быть не может. Если начальные условия для двух решений  отличаются на e, то и решения отличаются на величину не большую, чем e. Это говорит об устойчивости задачи Коши к малым изменениям начальных условий.

Существование решения.

Будем искать решение U(x,t) в виде: U(x,t) = X(x)T(t) (4). Подставим (4) в (1), получим: T’ +a²l²T = 0, X” + l²X = 0. T = exp{–a²l²t}, X(x) = Acoslx + Bsinlx. Коэффициенты А и В зависят от l. U_l(x,t) = exp{–a²l²t}*[ A(l)coslx + B(l)sinlx] (5). U(x,t) можно получить проинтегрировав (5), этот интеграл будет равномерно сходится и поэтому под –интегралом можно продифференцировать. U(x,t) = ò{–µ, µ} exp{–a²l²t}*[ A(l)coslx + B(l)sinlx]dl (6). Определим А(l) и В(l) так, чтобы удовлетворялось начальное условие  (2): j(х) = ò{–µ, µ}[ A(l)coslx + B(l)sinlx]dl (7).

Выпишем интеграл Фурье для функции j(x): j(x) = (1/2П)* ò{–µ, µ}dlò{–µ, µ}j(x)* cosl(x–x)dx;

j(x) = (1/2П)* ò{–µ, µ}[coslxò{–µ, µ}j(x)coslxdx + sinlxò{–µ, µ}j(x)sinlxdx]dl. Обозначим за А(l) – ò{–µ, µ}j(x)coslxdx , за В(l) – ò{–µ, µ}j(x)sinlxdx (8). U(x,t) = (1/2П)* ò{–µ, µ}dlò{–µ, µ}j(x)exp{–a²l²t}cosl(x–x)dx (*). Изменим в (*) порядок интегрирования. U(x,t) = (1/2П)* ò{–µ, µ}j(x)[ò{–µ, µ}exp{–a²l²t}cosl(x–x)dl]dx. Обозначим выражение в квадратных скобках за А. Выражение А не содержит заданной функции j(x). Сделаем замену: s = alÖt => l = s/aÖt, w = (x–x)/aÖt, тогда А = (1/aÖt) ò{–µ, µ}exp{–s²}cos(sw)ds. Обозначим сам интеграл (без константы) за I(w). При w=0 I(0) = ò{–µ, µ}exp{–s²}ds = ÖП; I’(w) = – ò{–µ, µ}sexp{–s²}sin(sw)ds. => I’(w) = ½ exp{–s²}sin(sw)|_–µ^µ – w/2 ò{–µ, µ}exp{–s²}cosswds = –w/2 I(w).

I’(w)/I(w) = –w/2 => ln I(w) = –w²/4 + ln C, C=ÖП, I(w) = ÖП*exp{–w²/4}.

А = (1/аÖt)I(w) = (ÖП/a²t)exp{–w²/4} = (ÖП/a²t)exp{–(x–x)²/4a²t}. Тогда U(x,t) = ò{–µ, µ}(1/2a(Пt)^1/2)*j(x)*exp{–(x–x)²/4a²t}dx (9). Обозначим F(x,t,x) = (1/2a(Пt)^1/2)*exp{–(x–x)²/4a²t} (10), тогда U(x,t) = ò{–µ, µ}j(x)F(x,t,x)dx. (10) – есть фундаментальное решение уравнения теплопроводности. Из (9) следует, что тепло распространяется вдоль стержня мгновенно. Это та идеализация, которая соответствует самому выводу уравнения теплопроводности.

Решение задачи Коши есть функция, непрерывно дифференцируемая по t и x бесконечное число раз, независимо от того, будет ли иметь эти производные функция j(x). Эта гладкость решения существенно отличает решение задачи теплопроводности от задач колебаний струны.

Физический смысл фундаментального решения.

Рис.