Опр.: Линейным уравнением Вольтерра называется уравнение вида: j(x) = l*ò{a,x}K(x,s)j(s)ds + f(x) (1), при этом, хÎ[a,b]. Если f(х) = 0, то получим однородное уравнение второго рода. j(x) = ò{a,x}K(x,s)j(s)ds (2). ò{a,x}K(x,s)j(s)ds = f(x) – интеграл первого рода. Можно рассматривать уравнение (1), как частный случай уравнения Фредгольма. Ядро K(x,s) в уравнении (1) доопределим следующим образом: sÎ[a,b], причём, если s>x, то K(x,s) = 0. Тогда уравнение (1) можно рассматривать как уравнение Фредгольма с ядром H(x,s) = {K(x,s), s£x, 0, s>x. Тогда будем иметь интегральное уравнение Фредгольма 2го рода: j(x) = lò{a,b}H(x,s)j(s)ds + f(x). Все выводы, которые были сделаны для уравнения Фредгольма будут справедливы и для (1). Но здесь необходимо учесть спецификацию ядра K(x,s). K1(x,s) = K(x,s), K2(x,s) = ò{a,x}K(x,t)K(t,s)dt (3), …, Kn(x,s) = ò{a,x}K(x,t)Kn-1(t,s)dt (4). Будем полагать, что K(x,s) непрерывно в замкнутом треугольнике, ограниченным прямыми D={S=a, S=x, x=b (b>a)}. Рассмотрим формальный ряд: K(x,s) + lK2(x,s)+…+ln-1Kn(x,s) (5). Пусть М = max{D}|K(x,s)|. |K2(x.s)| £ ò{s,x}|K(x,t)|*|K(t,s)|dt £ M2(x–s), …, |Kn(x,s)| £ ò{s,x}|K(x,t)|*|Kn-1(t,s)|dt £ Mn(x–s)n-1/ (n–1)! (6). Из (6) следует, что ряд (5) сходится равномерно при любом значении параметра l и сумма его есть непрерывная функция переменных x и s. Обозначим сумму этого ряда R(x,s;l) = K(x,s) + lK2(x,s)+…+ln-1Kn(x,s) (7). Функция R(x,s;l) есть целая функция параметра l и называется резольвентой ядра K(x,s). Для решения исходной задачи нужно воспользоваться представлением: j(x) = f(x) + lò{a,x}R(x,s;l)f(s)ds (8). Соотношение (8)есть решение уравнения (1) при любой непрерывной функции f(x) и при любом значении параметра l. Резольвента ядра Вольтерра определена как и его ядро, т.е. область определения у них совпадает. Резольвента и итерирование ядра не зависят от нижнего предела интегрирования. Уравнение Вольтерра с непрерывным ядром и непрерывной правой частью имеет всегда единственной нетривиальное решение.
Док–во: Пусть есть два решения j1 и j2. Обозначим j0(х) = j1(х) – j2(х). По определению j0(х) удовлетворяет однородному уравнению j = lАj. Т.к. однородное уравнение имеет только тривиальное решение и при этом единственное, значит, j0(х) º 0. Пусть N = max{x}|j0(x)|. Если j0(х) есть решение однородного уравнения, т.е. j0(х) º Аj0(х). j1(х) = lАj0(х), j2(х) = lАj1(х). j1(x) и j2(x) будут тождественны с j0(х). Выполним оценку, аналогично оценке (6): |jn(x)| £ NMn(x–a)n/n!. При n->µ jn->0 "xÎ[a,b]. Т.к. по построению jn(x) º j0(x) => j0(x) -> 0 => j1(x) º j2(x). ¨
Оператор Вольтерра характерен тем, что значение функции Аj(х) в любой точке х однозначно определяется только предыдущим значением, т.е. s £ x. Решение (8) уравнения (1) в каждой точке х определяется величиной внешнего воздействия f(x), действующего только в моменты s £ x. Отсюда следует и характерная возможность продолжения решения, а именно: можно построить решение на отрезке а £ х £ а1, для х ³ а1 можно представить уравнение (1) в следующем виде: j(х) = lò{a1,x}K(x,s)j(s)ds + [lò{a,a1}K(x,s)j(s)ds + f(x)].
Вывод: Уравнение Вольтерра, соответствующее уравнению Вольтерра 2го рода, при любом значении l имеет только тривиальное решение. Следовательно, уравнение Вольтерра не имеет характеристических чисел.
Лекция №14 за 8.12.2000
Классические и обобщённые решения.
Все предыдущие постановки задач характеризуются тем, что решение достаточно гладкое и удовлетворяет уравнению в любой точке области задания уравнения, такие задачи называются классическими. Классическая постановка полагает непрерывность правой части уравнения, непрерывность коэффициентов, но в реальных задачах такого не бывает. Для решения таких задач был создан аппарат – обобщённые решения, т.е. решением такой задачи будет обобщённая функция. Впервые обобщённую функцию ввёл Дирок, а теория была создана и разработана Соболевым.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.