Пусть задана область`Д=Д+S, где S – граница, и пусть U – функция класса С2. U(M) = (1/4П)*ò{D}LU/r dt – (1/4П)*ò{S}¶/¶n(1/r)UdS + (1/4П)*ò{S}(1/r)*¶U/¶n dS – это интегральное представление функции класса С2. Будем говорить, что интегральное представление функции класса С2 есть сумма потенциалов объёма, простого и двойного слоёв.
1. V(M) = (1/4П)*ò{D}r(N)/r dt, r(N) – плотность объёмного потенциала. Если решаем задачу Пуассона LU = f(M), то f(M) определяет r(N).
2. Потенциал двойного слоя. W(M) = –(1/4П)*ò{S}U¶(1/r)/¶n dS = ò{S}m(N)¶(1/r)/¶n dS, m(N) – плотность потенциала двойного слоя. Неоднородное условие Дирихле U|S = j(M) в задаче Пуассона можно связать с m(N).
3. Потенциал простого слоя. Y(М) = (1/4П)ò{S}(1/r)*¶U/¶n dS = ò{S}n(N)/r dS, n(N) – плотность потенциала простого слоя. Потенциал простого слоя связан с краевыми условиями Неймана ¶U/¶n|S = j1(M) в задаче Пуассона.
Опр.: Поверхность Ляпунова – это поверхность класса С(1, a) (в каждой точке можно построить локальную систему координат и связать её с глобальной).
Рис.
S(x) – кусочек границы S, заключённый в сфере Sd, xm = const. Если S поверхность Ляпунова, то она имеет в каждой своей точке определённую нормаль. $d, a, a, при этом d ³ 0, а > 0, 0 < a £ 1, что если х произвольная точка поверхности S, то сфера Sd(х), радиуса d с центром в точке х, вырезает из S участок S(x), который в местной системе координат, связанной с точкой х, может быть задан уравнением вида: xm = f(x’) («’» означает проекцию данной точки на касательную плоскость S в точке х, т.е. xm = const). Точку x’ можно рассматривать как точку (m-1)-мерного пространства, т.е. x’ = (x1, … , xm-1). Если x и z две точки участка S(x) и t любое направление в плоскости xm = 0, то |¶f(x’)/¶t – ¶f(z)/¶t| £ a|å{k=1,m-1}(xk – zk)2|a/2. Плоскость xm = 0 касается поверхности S в точке х, которая является началом локальной системы координат. Отсюда f(0, 0,…,0) = 0, ¶f(0, 0,…,0)/¶t = 0.
Интеграл Гаусса.
Потенциал простого слоя убывает как |x|-(m-2). Потенциал двойного слоя убывает как |x|-(m-1). Если поверхность S делит пространство на две области внутреннюю и внешнюю, то интеграл двойного слоя определяет две гармонические функции. W0(x) = ò{S}¶(1/rm-2)/¶n dS – интеграл Гаусса. Интеграл Гаусса – это интеграл двойного слоя с плотностью, равной 1.
W0(x) = { –2(m-2)Пm/2/Г(m/2), если хÎ(int S) (внутри S); 0, если х вне S; –(m-2)Пm/2/Г(m/2), если хÎS (это значение называется прямым).
Точно также ведёт себя потенциал двойного слоя.
Предельное значение потенциала двойного слоя.
На примере интеграла Гаусса, что потенциал двойного слоя терпит разрыв, когда точка х пересекает границу S, введём обозначение: Wi(x0), когда х –> х0 изнутри S, WL(x0), когда х –> х0 извне S, прямое значение W(x0). Тогда справедлива следующая теорема.
Теорема: Пусть S – замкнутая поверхность Ляпунова, и пусть s(x) – плотность, непрерывная на S, тогда для потенциала двойного слоя справедливы предельные состояния: Wi(x0) = –2(m-2)Пm/2s(x0)/Г(m/2) + W(x0); WL(x0) = 2(m-2)Пm/2s(x0)/Г(m/2) + W(x0). Если m=3, то Wi(x0) = –2Пs(x0) + W(x0) (*) – внутренняя, WL(x0) = 2Пs(x0) + W(x0) – внешняя. Wi(x0) можно использовать для решения внутренней задачи Дирихле, WL(x0) – внешней задачи Дирихле. W(x0) = ò{S}s(x0)¶(1/r)/¶n dS. Функция, подлежащая определению – s(х0). (*) – уравнение Фредгольма второго рода.
Лекция 11 за 10.11.2000
Интегральные уравнения.
Опр.: Интегральное уравнение называется линейным, если подынтегральная функция входит в него линейно.
j(p) = ò{D}K(p,p1)j(p1)dp1 + f(p) (1). Д – некоторая область изменения переменных р и р1. Функция К(р,р1) называется ядром. Область Д в общем случае лежит в n-мерном пространстве, координаты точек р и р1 имеют вид: р=(х1,…,хn), р1=(x1,…,xn), тогда ядро К(р,р1) есть функция 2n переменных, при этом р и р1 таковы, что они не выходят за Д. Если Д одномерная и связная, то координаты точек будет определять одна координата и j(х) = lò{a,b}K(x,s)j(s)ds + f(x) (2), при этом х³а, s£b, l – параметр. Уравнения (1) и (2) это линейные интегральные уравнения Фредгольма второго рода. В общем случае пределы интегрирования a и b могут быть конечными или бесконечными. Ядро и функция f(x) либо непрерывны, ядро в квадрате Q: х³а, s£b, а f(x) – на отрезке [a,b], либо они удовлетворяют следующим условиям: ò{a,b}ò{a,b}|K(x,s)|2dxds < µ (3), ò{a,b}|f(x)|2dx < µ (4). Ядра, удовлетворяющие уравнению (3), называются фредгольмовскими. Если f(x)º0 (f(x) обращается в нуль почти всюду на [a,b]), то уравнение называется однородным. Уравнение (2) представляет из себя семейство уравнений, зависящих от числового параметра l.
Уважаемый посетитель!
Чтобы распечатать файл, скачайте его (в формате Word).
Ссылка на скачивание - внизу страницы.