Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 16

Будем полагать, что l удовлетворяет этому условию, тогда выясним, что представляет из себя степень оператора А. А²f = A(Af) = ò{a,b}(ò{a,b}K(x,s)*K(s,t)ds)f(t)dt. Обозначим: K₂(x,t) = ò{a,b}K(x,s)*K(s,t)ds – повторное ядро или вторая итерация ядра K(x,s). A²f = ò{a,b}K₂(x,t)f(t)dt. Можно сказать, что j(х), записанная в виде (3), есть f + l*ò{a,b}K₁(x,s)f(s)ds + l²*ò{a,b}K₂(x,s)f(s)ds +…+lⁿ*ò{a,b}K_n(x,s)f(s)ds (4), где К₁(x,s) = K(x,s). Ряд, стоящий в (4) справа при выполнении (*), сходится равномерно.

Рассмотрим ряд: K₁(x,s) + lK₂(x,s) +…+l^n-1K_n(x,s) +…(5). Ряд (5) равномерно сходится, если выполняется (*), тогда |K₂(x,s)| £ M²(b–a),…, |K_n(x,s)| £ Mⁿ(b–a)^n-1. Отсюда следует, что |l^n-1K_n(x,s)| £ |l|^n-1Mⁿ(b–a)^n-1 = Mq^n-1, где q = |l|M(b–a)<1. Т.о. члены ряда (5) мажорируются сходящимся числовым рядом å{n=1,µ}qⁿ, где 0<q<1, следовательно, этот ряд равномерно сходится.

Обозначим R(x,s;l) ряд (5), т.е. R(x,s;l) = K₁(x,s) + lK₂(x,s) +…+l^n-1K_n(x,s)+... (6). Эта функция есть непрерывная функция аргументов x, s и аналитическая функция от l при выполнении условия (*). Умножим (5) на f(s), проинтегрируем почленно по s от a до b, и сравнивая выражение для j(х) (4), получим: j(х) = f(x) + l*ò{a,b}R(x,s;l)f(s)ds (7). R(x,s;l) называется резольвентой или разрешающее ядро ядра К(x,s). Формула (7) верна только для достаточно малых значений l по абсолютной величине. Но если К(x,s) ортогонально самому себе, K₂(x,s) º 0 и все последующие итерации ядра тривиальны, то формула (7) справедлива "l.

Вывод: Линейное интегральное уравнение Фредгольма имеет единственное решение, если его ядро непрерывно в прямоугольнике Q, f(x)ÎC(a,b), |l|<(M(b–a))^-1, и тогда решение может быть представлено в виде (7).

Решение уравнений Фредгольма заменой интеграла суммой.

Проблемы:

1. Необходимо найти решение неоднородного уравнения Фредгольма при заданном l и f.

2. Необходимо найти собственные значения и собственные функции ядра К(x,s).

y(x) – lò{a,b}K(x,s)y(s)ds = f(x) (1). Решим это уравнение заменой интеграла на конечную сумму, для этого нужно использовать какую-либо квадратурную форму. ò{a,b}F(x)dx = å{j=1,n}A_jF(x_j) + R(x), xÎ(a,b). Полагаем R(x) равным нулю, т.к. остаточный член нас не интересует. Пусть А₁,…, А_n не зависят от выбора функции F(х), тогда если в (1) положим х=х_i, i=1,…,n, то получим: y(x_i) – lò{a,b}K(x_i,s)y(x_i)dx = f(x_i) (2). Заменим в (2) интеграл на квадратуру, получим: y(x_i) – lå{j=1,n}A_jK(x_i,x_j)y(x_j) = f(x_i) (3) "i. Y_i – lå{j=1,n}A_jK_ijY_j = f_i, решив эту систему найдём Y_i, и используя процесс интерполяции, можно найти приближенное решение (1) на всём отрезке. Y(x) = f(x) + lå{j=1,n}A_jK(x,x_j)Y_j (4) – процесс интерполяции. В узлах разбиения функция (4) принимает значения Y₁,…,Y_n. Веса А_j определяются видом квадратуры. Вторая возможность аппроксимации – использование сплаймов.

Лекция №13 за 01.12.2000

Интегральные уравнения Вольтерра.