Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 12

Пусть дана эллиптическая краевая задача вида LU = f в области Д (1), [¡₁¶U/¶n + ¡₂U]|_S = j(м) (2). Для разрешимости этой задачи необходимо: ¡₁, ¡₂ ³ 0, ¡₁² + ¡₂² ¹ 0. Для того чтобы найти решение (1), (2) нужно решить задачу со специальной правой частью. LG(M,M₀) = – d(M,M₀) (3) в Д. [¡₁¶G/¶n + ¡₂G]|_S = 0 (4). Потребуем чтобы G(М,М₀) была непрерывна всюду вместе с частными производными 1^го порядка в замкнутой области Д. Если функция G найдена, то тогда можно решить задачу (1), (2). Применим вторую формулу Грина: ò{D}[G(M,M₀)LU – ULG(M,M₀)]dt = ò{S}[G(M,M₀)¶U/¶n – U¶G(M,M₀)/¶n]dS (5). LU = f(M) по условию, LG = – d(M,M₀), тогда ò{S}G(M,M₀)f(M)dt_м + ò{D}U(M)d(M,M₀)dt_м = ò{S}[G(M,M₀)¶U/¶n – U¶G(M,M₀)/¶n]dS. На основании свойств d-функции ò{D}U(M)d(M,M₀)dt_м = U(M₀). Тогда U(M₀) = –ò{D}G(M,M₀)f(M)dt_м + ò{S}[G(M,M₀)¶U/¶n – U¶G(M,M₀)/¶n]dS (6).

1. Решение с помощью формулы (6) задачи Дирихле.

В (2) ¡₁ = 0, ¡₂ ¹ 0, U|_S = j(M), G(M,M₀)|_S = 0. U(M₀) = –ò{D}G(M,M₀)f(M)dt_м – ò{S}j(M)¶G(M,M₀)/¶n dS.

2. Решение с помощью формулы (6) задачи Неймана.

В (2) ¡₁ ¹ 0, ¡₂ = 0, ¶U/¶n|_S = j₁(M), ¶G(M,M₀)/¶n|_S = 0. U(M₀) = –ò{D}G(M,M₀)f(M)dt_м + ò{S}G(M,M₀)j₁(M)dS.

3. Третья краевая задача

¡₁ ¹ 0, ¡₂ ¹ 0. [¡₁¶G/¶n + ¡₂G]|_S = 0, [¡₁¶U/¶n + ¡₂U]|_S = j(M). ¶G/¶n = – (¡₂/¡1)G|_S, ¶U/¶n = – (¡₂/¡1)U|_S + j(M)/¡₁; U(M₀) = –ò{D}G(M,M₀)f(M)dt_м + ò{S}[G(M,M₀)[ – (¡₂/¡1)U + j(M)/¡₁] + (¡₂/¡1)GU]dS => U(M₀) = – ò{D}G(M,M₀)f(M)dt_м + ò{S}j(M)G(M,M₀)/¡₁ dS.

Опр.: Точки М и М₁ называются инверсными относительно плоскости в пространстве или прямой в плоскости, если они симметричны относительно этой плоскости или прямой.

М(х₀, у₀, z₀) -> М(х₀, у₀, –z₀) {3D}, М(х₀, у₀) -> М(х₀, –у₀) {2D}.

Опр.: Точки М и М₁ называются сопряжёнными относительно сферы, если они лежат на одном плече, исходящем из центра, а произведение их расстояний от центра равно квадрату радиуса.

Рис.

R² = r*r₁

Лекция №10 за 3.11.2000

Теория потенциала.

Рис.

r = [(x-a)² – (y-b)² – (z-c)²]^1/2. Пусть в точку А помещаем электрический заряд, тогда заряд создаёт электростатическое поле. Напряжённость поля в любой точке пространства, не совпадающей с точкой А, определяется следующим образом:`Е = q`r/r³. Это поле имеет проекции: Е_х = q(x-a)/r³, Е_y = q(y-b)/r³, Е_z = q(z-c)/r³ (1). Правые части соотношения (1) с противоположным знаком равны частным производным функции U(м) = q/r + const (2) – потенциал электростатического поля. U(м) –> 0 при r –> 0, поэтому const = 0. U(м) = q/r = q/[(x-a)² – (y-b)² – (z-c)²]^1/2. (3)  Предположим, что у нас несколько точечных источников, тогда потенциал U = åU_i. Если заряд распределён по некоторому объёму Д, т.е. задана плотность заряда, тогда U(м) = ò{D}r(N)/r dt_N (4). Правая часть (4) – объёмный потенциал. Заряд распределён по поверхности, его плотность r₁(N), тогда его потенциал U(м) = ò{S}r₁(N)/r dS (5). r – расстояние от точки М до переменной точки поверхности S. (5) – потенциал простого слоя.

Рис.

А – центр, h << расстояния до точки М. Рассмотрим величину qh. Обозначим qh = p = const. U(м) = lim{h->0}q(1/r’ – 1/r”) = lim{h->0}p(1/r’ – 1/r”)/h = p*¶(1/r)/¶L = p*cos(`АМ,`L)/r² (6). При помощи двух таких зарядов диполь может быть представлен очень приближённо.

Рис.

S – строго ориентированная поверхность (это поверхность, на которой строго определены внешняя и внутренняя нормали), n_i – внутренняя нормаль, n_L – внешняя нормаль. На поверхности S распределён диполь с плотность m(N). В каждой точке N направление оси диполя совпадает с направлением внутренней нормали поверхности S. Тогда потенциал, который создаёт этот диполь будет равен: W(M) = ò{S}m(N)*cos(`NM,`n_i)/r² dS (7), где вектор r направлен от N к М. (7) – интеграл двойного слоя, т.к. распределение диполя может быть приближённо представлено как два, наложенных на поверхность S распределения зарядов с плотностью m(N)/n и –m(N)/n. В дальнейшем будем полагать, что r направлено от точки М к N, а нормаль будем брать внешнюю. W(M) = –ò{S}m(N)cosj/r² dS.