Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 11

Теорема: о мах и min.

Функция гармоническая внутри ограниченной области Д и непрерывная в замкнутой области Д достигает наибольшего (наименьшего) значения только на границе области, кроме того случая, когда эта функция является константой.

Док–во: Пусть U(м) достигает наибольшего значения в некоторой точке м₀ области Д. С центром в точке м₀ проведём сферу радиуса r, т.о., чтобы она целиком находилась внутри области Д. Применим теорему о среднем арифметическом. В теореме о среднем арифметическом заменим подынтегральную функцию значением U(м₀), где по предположению она принимает мах значение, тогда: U(м₀) = 1/(4Пr²)* ò{S_r}Uds £ 1/(4Пr²)* ò{S_r}U^мах_rds = U^мах_r. Знак равенства будет иметь место когда U_r есть постоянное значение U в точке м₀. Т.к. по предположению U в точке м₀ есть наибольшее значение U(м) в области Д, может утверждать, что равенство имеет место, и следовательно, U(м) = const внутри и на поверхности всякой сферы с центром в точке м₀, если эта сфера принадлежит Д. Покажем, что U(м) есть постоянная во всей области Д.

Рис.

U(N)=U(м₀). Соединим N и м₀ линией L, причём L – конечная. Эта ломаная целиком лежит в Д. Пусть d – кратчайшее расстояние от L до границы Д. В силу доказанного U(N) = U(м₀) в шаре с центром в точке м₀ и радиусом d/2. Пусть М₁ точка пересечения ломаной L с поверхностью шара, описанного вокруг точки м₀. Тогда U(М₁) = U(м₀). По доказанному выше U(м) = const U(м₀) в шаре, описанном вокруг М₁. Получаем М₂ – точку пересечения сферы с ломаной. Вследствие конечной длины ломаной её можно покрыть конечным числом шаров. Аналогично доказывается, что U(м) принимает min значение. Согласно теореме Вейерштрассе функция U(м) в замкнутой области Д достигает своего наибольшего и наименьшего значения, и достигает их на границе, т.к. по доказанному выше гармоническая функция U не может принимать внутри области свои наибольшие и наименьшие значения.

Краевые задачи делятся не только по типу краевых условий, они могут быть: внешние (решаются вне некоторой области), внутренние (решение внутри некоторой области).

Теорема3: Решение задачи Дирихле внутреннее или внешнее единственно.

Док–во: Рассмотрим внутреннюю задачу Дирихле. Пусть существует два решения U₁(м) и U₂(м). Тогда U₁(м) – U₂(м) будет гармонической функцией и будет удовлетворять условию:[ U₁(м) – U₂(м)]|_s = 0. По доказанной теореме эта разность равна нулю на всей области.

Функция Грина оператора Лапласа.

1.  Функция Грина задачи Дирихле.

Пусть U(м) – гармоническая функция в области Д с границей S и непрерывная вместе со своими производными 1^го порядка вплоть до границы S. Тогда U(м₀) = 1/4П * ò{S}[(1/r)¶U/¶n – U¶/¶n(1/r)]dS (1), где r – расстояние между любыми точками, n – внешняя нормаль. Пусть известна некоторая функция g(м,м₀), которая обладает следующими свойствами: 1) как функция переменной точки м она является гармонической в области Д и имеет непрерывные 1^е производные вплоть до границы S; 2) на поверхности S функция принимает значение – 1/4Пr. Применим вторую формулу Грина к гармоничны функциям U(м) и g(м,м₀), получим: ò{S}[U(м)¶g(м,м₀)/¶n – g(м,м₀)¶U(м)/¶n]dS = 0. В силу граничных условий для функции g(м,м₀) получим: ò{S}[U(м)¶g(м,м₀)/¶n + 1/(4Пr)¶U(м)/¶n]dS = 0 (2). Вычтем из (1) формулу (2), получим: – ò{S}U(м)¶/¶n[1/4Пr + g(м,м₀)]dS (3). Обозначим G(м,м₀) = 1/4Пr + g(м,м₀) (5) – функция Грина для задачи Дирихле.

Опр.: Функцией Грина для задачи Дирихле называется функция, удовлетворяющая следующим условиям: 1) как функция точки М она является гармонической внутри области Д за исключением точки М₀, в которой она имеет особенность; 2) она удовлетворяет гармоническим условиям: G(М,М₀)|_S = 0 (4); 3) в области Д функция G(М,М₀) допускает представление (5).

Свойства функции Грина.

Функция Грина всюду в области Д положительна.

1. G(M,M₀) < 1/4Пr, G(M,M₀) > 0

2. G(M,M₀) º G(M₀,M)

Сущность метода функции Грина.