Линейные ДУ в частных производных второго порядка. Основные уравнения математической физики. Уравнения Максвелла, страница 2

Опр. Струной называется натянутая нить, не сопротивляющаяся изгибу.

Рис.

Струна в равновесии – ось Ох. Величину отклонения точки х в момент t обозначим U(x,t). U=U(x,t) – уравнение струны в момент времени t. Ограничимся только малыми колебаниями струны. tga=¶U/¶x. Т.к. струна не сопротивляется изгибу, то её натяжение Т(х,t) направлено по касательной. Любой участок струны после отклонения от положения равновесия в рамках выбранных ограничений не изменяет своей длины. l » ò{а,b}[1+(¶U/¶x)²]^1/2dx » b–a. В соответствии с законом Гука величина натяжения будет величиной постоянной, не зависящей от х или t. Пусть F(x,t) в точке х в момент времени t направлено ортогонально оси Ох, r(х) – линейная плотность, r(х)Dх – масса, |T(x,t)|=T₀. На элемент струны от х до х+Dх действует сила натяжения Т(х+Dх,t)–T(x,t) и действует внешняя сила, все эти силы должны быть равны произведению массы на ускорение. Т(ч+Dх,t)–T(x,t)+F(x,t)Dx`e=r(x)Dx¶<sup>2</sup>U/¶t<sup>2</sup>`e. Спроектируем это векторное равенство на ось U. Т₀sina|_x+Dx– T₀sina|_x + F(x,t)Dx=r(x)Dx¶²U/¶t² (2). sina=tga/(1+tg²a)^1/2 » tga=¶U/¶x (т.к. a достаточно мал). r¶²U/¶t² = T₀/Dx [¶U(x+Dx,t)/¶x – ¶U(x,t)/¶x] + F(x,t). Устремим Dх к нулю, тогда получим: r¶²U/¶t² = T₀¶²U/¶x² + F(x,t). Полагаем свойства среды постоянными: ¶²U/dt² = a² ¶²U/¶x² + f(x,t) (3), где а²=Т₀/r, f(x,t)=F(x,t)/r. (3) – уравнение поперечных колебаний струны. Если f(x,t)=0, то уравнение становится однородным, а колебания свободными, если f(x,t)¹0, то колебания вынужденные. Уравнение (3) – одномерное уравнение колебаний струны. Продольные колебания описываются таким же уравнением: rS¶²U/¶t²=¶/¶x(ES¶U/¶x) + F(x,t), S – площадь поперечного сечения стержня, Е – модуль Юнга. Начальные условия: U|_t=0, U_t|_t=0 – нужно задать. Если струна ограничена, то необходимо задать физическое поведение концов струны.

1.  xÎ(x₀,x_N) U|_x=x0=m₁(t) U|_x=xN=m₂(t) это краевые условия Дирихле (1^го рода)

2.  На конец струны действует заданная сила Т₀¶U/¶x|_x=x0=T₀sina|_x=x0=j₁(t) Þ ¶U/¶t = j(t)/T₀ это краевые условия Неймана (2^го рода)

3.  Конец струны х₀ упруго закреплён, пусть h – коэффициент жёсткости закрепления, тогда: (Е¶U/¶x + bU)_x=x0=0 это краевые условия 3^го рода. Если сказано, что конец жёстко закреплён, значит, b=0, т.е. сводится к двум одинаковым условиям.

¶²U/¶t² = a² ¶²U/¶x² + F(x,t). Матрица старших коэффициентов: diag{1, –a²}=> уравнение гиперболического типа.

D=¶²/¶х²₁ + ¶²/¶х²₂ + ¶²/¶х²₃ – оператор Лапласа. ð_а – оператор Даламбера, ð_а=¶²/¶t² – D.

Уравнение диффузии (теплопроводности).

p¶U/¶t = div(pgradU) – qU +F(x,t). Пусть U – температура среды. Будем полагать, что среда изотропная. Обозначим r(х), с(х), к(х) – плотность, удельная теплоёмкость, коэффициент теплопроводности, тогда в произвольном объёме баланс тепла от t до t+Dt определяется следующим образом.

Рис.

Тогда по закону Фурье через поверхность S в объем V поступит количество тепла, равное ò{S}k¶U/¶nds Dt = ò{S}(kgradU,n)ds Dt. Перейдём к интегралу по объёму: Q₁ = ò{V}div(kgradU)dxDt. От источника в объёме V возникнет количество тепла Q₂ = ò{V}F(x,t)dxDt. Температура в объёме в промежуток от t до t+Dt изменится на U(x,t+Dt) – U(x,t) = Dt¶U/¶t, для этого затрачивается количество тепла Q₃ = ò{V}cr¶U/¶tdxDt. В силу закона сохранения: Q₃ = Q₁+Q₂. ò{V}[div(kgradU) + F(x,t) – cr¶U/¶t]dxDt = 0 – это тепловой баланс в объёме V, ограниченном S, за время Dt.

div(kgradU) + F(x,t) = cr¶U/¶t

¶U/¶t = a² ¶²U/¶t² + f(x,t). Матрица старших коэффициентов: diag{0, a²} – уравнение параболического типа. Краевые условия могут быть любыми. Если использовать оператор ÿ_а или ¶/¶t – D, то процесс нестационарный. Стационарный случай: DU = – f(x) – уравнение Пуассона, DU=0 – уравнение Лапласа.

(¶²/¶t² – a²D)U = f(x,t). Пусть f(x,t) гармоническая функция f(x,t) = a²f(x)e^iwt. Будем искать гармоническое решение U(x,t) = U(x)e^iwt. Подставим u(x,t) в волновое уравнение ¶²U/¶t² = –w²U(x)e^iwt

DU=DU(x)e^iwt

–w²U(x)e^iwt – a²D U(x)e^iwt = a² f(x)e^iwt

–DU – w²/a²U(x) = f(x), k²=w²/a² – волновое число