Информационные технологии прогнозирования состояний экономических объектов, страница 21

        = exp{– [(y – r(x)]²/2s_Y² (1–r_XY²)}/ (2p)^1/2 s_Y (1 – r_XY²)^1/2.

При этом

r(x) = áyñ + (s_Y /s_X) r_XY (x – áxñ),                                     (2.1.10)

= s_Y²r_XY², = s_Y² (1 – r_XY²).

Тем самым, при нормальном совместном законе распределения случайных величин X и Y регрессия является линейной.

2.2. Оптимальный стохастический прогноз.

Оптимальный стохастический прогноз или оптимальный предиктор случайной величины X в классе всех функций y = f(x) по мере среднеквадратической ошибки (СКО) совпадает с функцией регрессии Y на X.

Действительно, будем искать функцию f(x) предиктора, воспользовавшись МНК, т.е. минимизируя СКО

СКО = ò [y – f(x)]² Pr(yú x) dy .                                       (2.2.1)

Тогда, записывая условия минимума СКО – ¶ СКО/¶f = 0, получим

¶ СКО/¶ f = ò [y – f(x)] Pr(yú x) dy = 0 .

Отсюда следует

f(x) ò Pr(yú x) dy = ò y Pr(yú x) dy.

Однако, т.к. òPr(yú x)dy = òPr(x, y)dy /Pr(x) = Pr(x)/Pr(x) = 1, то получим

f(x) = ò y Pr(yú x) dy = ò y Pr(x, y) dy /ò Pr(x, y) dy,         (2.2.2)