Управляемая и наблюдаемая сопровождающие формы. Структурная теорема. Реализация матричной передаточной функции. Представление дифференциальными операторами. Примеры перехода от дифференциальных операторов к пространству состояний. Решение матричного полиномиального уравнения

1.  Управляемая и наблюдаемая сопровождающие формы

УПРАВЛЯЕМАЯ И НАБЛЮДАЕМАЯ СОПРОВОЖДАЮЩИЕ ФОРМЫ

В описании систем в уравнениях состояния часто используется сопровождающая форма (companionform):

.

Рассмотрим скалярную систему порядка n:

.

Пусть она будет управляемой (controllable) (говорят: пара матриц {А, b} управляема), т.е. матрица управляемости (controllabilitymatrix) θ = [b, Ab, …, A^n-1b] имеет ранг n. Обозначим последнюю строку матрицы θ^-1 через q₁ и введем матрицу

.

Оказывается, что если перейти к новой переменной : 

,

матрица  будет представлена в сопровождающей форме:

,  .

Представление матриц А, b в таком виде называется управляемой сопровождающей формой (controllablecompanionform).

Перейдем к управляемой многоканальной системе:

,

где матрица В полного ранга и вектор u имеет размерность m(mn).

Из матрицы управляемости

θ = [B, AB, …, A^n-1B]

выделим  линейно независимых столбцов. Полученную матрицу размера n*  назовем . Из управляемости следует n=, т.е. из || ≠ 0.

Построим матрицу L размером n*  из перестановкой столбцов

L = .

Числа , , называют индексами управляемости (controllabilityindices), а число  - индексом управляемости.

Введем матрицу Q (q_k – σ_k –ая строка из матрицы L^-1):

Перейдем к новым координатам   Qx. В уравнении пространства состяний  матрицы имеют конечный вид:

,  ,

,    .

(i ≠ j)  

Канонический вид матриц называется сопровождающей формой (controllablecompanionform).

Пример. Для матриц

   и  

найти сопровождающую форму. Прежде всего, проверяем управляемость системы, для чего находим произведение матриц  АВ, А²В:

,   ,    .

четыре отмеченных столбца [b₁, b₂, Ab₂, A²b₂] линейно независимы, следовательно, система управляема. Матрица L = = [b₁, b₂, Ab₂, A²b₂] (т.е. d₁ = 1, d₂ = 3, σ₁ = d₁ = 1, σ₂ = d₁ + d₂ = n = 4) такова:

.

Находим матрицу L^-1 и берем из нее строку q₁ ( σ₁ = 1) и q₂ ( σ₂ = 4)

q₁ = [1 1 0 -2],     q₂ = [1 0 0 1]

и строим матрицу Q и ее обратную Q^-1:

,    .

Вычисления заканчиваем поиском матриц

,       ■

Рассмотрим случай, когда система неуправляема, т.е. ранг матрицы управляемости меньше n: rank(θ)= . Здесь поступаем, как выше, а именно, берем первые  линейно независимых столбцов θ с номером последней строки  . Эти столбцов образуют подпространство , Берем ортогональное дополнение (orthogonalcomplement)  размерности  с базисом β₁, β₂, … β_q и расширим пространство состояний:

                       

  ,  .

      

К этой системе применим процедуру поиска матрицы Q, но обозначим ее   Q_e. Формулы преобразования:

  

,  .

Система в новом базисе расщеплена две подсистемы:

 - управляемая часть,

 - полностью неуправляемая часть.

Аналогично можно найти наблюдаемую сопровождающую форму для системы

 

где С – матрица полного ранга. Пусть указанная система наблюдаема (говорят еще: «пара {A, C} наблюдаема»). Можно перейти к дуальной задаче и рассматривать управляемую систему

которая преобразованием Q (см. приведение к канонической управляемой форме) приводится к каноническому виду

    .

Далее возвращаемся к исходной системе:

      

Преобразование  сводит исходную систему к наблюдаемой канонической форме (observablecompanionform):

,  ,

,  .

Матрица  имеет p ненулевых столбцов с номерами  (). Числа  называют индексами наблюдаемости (observabilityindices), а число  - индексом наблюдаемости. Таким образом, для определения  нужно знать p индексов наблюдаемости  и вычислить матрицы по формулам , .

Пример. Найдем наблюдаемую сопровождающую форму для системы: ,  при

,   .

Перейдем к сопряженной системе , где ,  и найдем сопровождающую управляемую форму для пары {}. В данном случае матрица управляемости

имеет ранг, меньший 4, следовательно, нужно расширить матрицу . Для этого возьмем линейно независимый r вектор . В этом случае {A, B_e} полностью управляема и

,

,  ,

,  ,  ,  ,

,     ■

Наблюдаемаячасть

Ненаблюдаемой части соответствует λ=4.

2.  Структурная теорема

Рассмотрим вопрос перехода от пространственного описания управляемой системы {A, B, C, E}, где В – полного ранга, к передаточной функции. Из управляемости следует существование невырожденного преобразования Q к новым переменным, где система представлена в управляемой сопровождающей форме:

.

Из матрицы  выделим матрицу  размером m*n (m упорядоченных строк с номерами  из ), а из матрицы  выделим матрицу  размерами m*n (m упорядоченных строк с номерами  из ). Введем еще матрицу S(s), которая совместно с  приведена ниже:

,   .

Теорема (структурная теорема). Если пространственное представление {A, B, C, E} соответствует управляемой системе с В полного ранга при m≤n, то ее передаточная функция T(s) вида C(sI-A)^-1B+E может быть выражена так:

, где

  ■

Таким образом, представили объект в виде «числителя» и «знаменателя» T(s)=R(s)P^-1(s) (правое полиномиальное разложение), где

,   , и получили формулу для вывода матричной передаточной функции

.

Свойства этих матриц следующие:

1)  матрица P(s) полиномиальная столбцово правильная;

2)  степень каждого столбца R_j(s)матрицы P(s).

Пример. Для системы, заданной в пространстве состояний