Другие предметы \ Многоканальные системы управления

Управляемая и наблюдаемая сопровождающие формы. Структурная теорема. Реализация матричной передаточной функции. Представление дифференциальными операторами. Примеры перехода от дифференциальных операторов к пространству состояний. Решение матричного полиномиального уравнения, страница 4

В последней матрице старшие строчные степени расположены па диагонали, что было достигнуто умножением на , но в данном случае , вопреки требованию для всех . Чтобы исправить положение, мы сейчас используем так называемые несущественные состояния (non-essential states). Для этого сперва сделаем недиагональные элементы второй строки нулевыми при помощи элементарных операций, что соответствует умножению уравнения

слева на матрицу :

Получили:

Как следует из полученной системы, вторая компонента вектора соответствует алгебраическому, а не дифференциальному уравнению (она не зависит от производных ), следовательно, она не является существенным состоянием. Вы разим через :

Подставим в :

Шаг 3. По известным и находим :

Выделим полиномиальную часть из полученной передаточной функции, используя формулу деления , где - делимое, - делитель, - частное и - остаток:

, .

Шаг 4. Зная и , входящие в уравнение

, можем найти эквивалентное описание в пространстве состояний:

, .

В матрице , равной

, исключаем вторую переменную и представляем ее в специальном виде:

В матрице , где , второй и четвертый столбцы меняем на столбцы матрицы :

В матрице выбрасываем вторую строку, получаем матрицу размерами 2*2, которую представляем в виде :

В нашем случае ,т.е. найдено. Осталось найти : для этого в матрице второй четвертый столбцы следует заменить на столбцы матрицы . Далее остается вспомнить, что вторая переменная была выброшена:

6. Реализация полиномиальных представлений

Теорема. Любая рациональная матрица может быть представлена как (или ), где любой наибольший общий правый делитель для и - унимодальная матрица (любой наибольший общий левый делитель соответственно для и ).

Доказательство. Ввиду дуальности нужно доказать только то, что может быть представлено как , где и - относительно простые справа. Итак, нужно показать, что возможно представление

, где . Здесь и - относительно простые полиномы. Найдем наименьший общий знаменатель , столбца и составим матрицу . Далее найдем представление , где ( делится !). Если - некоторая неунимодальная матрица, являющаяся наибольшим общим правым делителем для и , тогда

, где , . Таким образом, найдена минимальная реализация ■

Пример. Найдем представление в форме минимального дифференциального оператора и минимальное представление в пространстве состояний для матричной передаточной функции

Произведем ряд вычислений:

Здесь - строго правильная часть . Найдем наименьшее общее кратное знаменателей первого и второго столбцов: , . Переходим к вычислению матриц и :

, , .

Оказалось, что и взаимно простые справа, т.е.

, .

Первая часть задачи решена. Для решения второй части задачи приравняем:

, , , .

Далее применяя ранее изложенную процедуру, находим:

, , ,

7. Характеристический полином и характеристические матрицы

Здесь представлена эффективная вычислительная процедура определения коэффициентов передаточной функции, базирующаяся на матрице наблюдаемости и близкая к методу Крылова (method Krilov). Метод может быть использован для определения характеристического полинома одноканальной системы.

Для представленной системы в пространстве состояний

(1)

, (2)

где - вектор состояний, - матрица состояний (state transfer matrix), - матрица управления (control transfer matrix), - входная переменная, - выходная переменная, - вектор коэффициентов выхода, - передаточный коэффициент «вход-выход», разработать процедуру генерации коэффициентов передаточной функции от к .