Другие предметы \ Многоканальные системы управления

Управляемая и наблюдаемая сопровождающие формы. Структурная теорема. Реализация матричной передаточной функции. Представление дифференциальными операторами. Примеры перехода от дифференциальных операторов к пространству состояний. Решение матричного полиномиального уравнения, страница 15

В обозначениях уравнения (16) это запишется так:

▄

Т е о р е м а 1. Необходимое и достаточное условие для того, чтобы было решением (1) с , удовлетворяющим условию (5) и есть

(17)

где и заданы уравнением (16).

Д о к а з а т е л ь с т в о. Если , заданное равенством (12), является решением (1), тогда должно удовлетворять (13). Условие (17) может быть рассматриваемо как необходимое условие на ранг матрицы (15), при котором (15) имеет решение. Когда условие (17) удовлетворяется, тогда решение (15) существует и может быть получено. Матрица может быть найдена приравниванием коэффициентов первых членов ряда s в (13), т.е.

(18)

Мы еще должны доказать, что образует решение (1). В намерении доказать это мы прежде всего напишем блочное матричное уравнение, элементы которого – вещественные числа:

h
blocks (19)

Умножим слева (19) на N₁+1 блочную матрицу размерами (nh * nh), в намерении воспользоваться результатами из (10):

(20)

П р и м е ч а н и е. Развернем уравнение (1) для случая

Искомые полиномиальные матрицы и имеют степени (12):

Ранее они были выбраны по единице , т.е. Запишем (1):

(19¹)

Это частный случай (19). Поясним выкладки, связанные с получением (20). В (19¹) первую строку (первое матричное уравнение) умножим слева на и учтем (9) и (11):

Первую строку, умноженную слева на , сложить со второй:

Вторую строку умножить слева на и учесть (9), (11):

С учетом того, что третье и четвертое уравнения не изменяли, система (19¹) запишется так (это частный случай (20)):

(20¹)

Продолжим преобразования: умножим первую строку на , вторую на и прибавим к третьей. После умножения третьей строки слева на и учета (19):

умножим вторую строку на и прибавим к четвертой

умножим третью на и прибавим к четвертой

Наконец, умножим четвертую на

Как следует из примечаний к формулам (9) и (10), последняя строка может быть записана более компактно:

В результате этих преобразований система (20¹) может быть записана следующим образом (сравните с (20)):

(20²)

Это уравнение расщепляется на два:

Из первого уравнения (сравните с (15), (16)) находим , а из второго находим , для чего его следует переписать так:

Блочное матричное уравнение составлено из (15) и (18). Таким образом, решение (15) и (18) есть также решение (20).

Из условия (5) следует, что если степени некоторых строк меньше, чем , тогда те же строки в (16) должны тоже иметь пониженную степень. Это приводит к тому, что соответствующие столбцы могут быть опущены, что, в свою очередь, приводит к матрицам и . Далее, переобозначая матрицу, составленную из независимых строк через и матрицу, составленную из тех же строк P через , (15) можно переписать как

(21)

Из единственности следует, что матрица должна быть квадратной и несингулярной.

В намерении получить единственное решение мы увеличиваем на каждом шаге степень на единицу. Начиная с , и затем проверяя существование решения (используя ранговое условие) и продолжая эту процедуру до тех пор, пока условие (17) с не удовлетворяется. Решение далее получаем из решения (21) для , т.е. для и, наконец, для из (18).