Другие предметы \ Многоканальные системы управления

Управляемая и наблюдаемая сопровождающие формы. Структурная теорема. Реализация матричной передаточной функции. Представление дифференциальными операторами. Примеры перехода от дифференциальных операторов к пространству состояний. Решение матричного полиномиального уравнения, страница 3

. (3)

Как известно, такое преобразование не влияет на решение и на эквивалентность.

Шаг 2. Пусть , где невырожденная матрица из коэффициентов при высших степенях строк матрицы . Если , то перейти к шагу 3. В противном случае подставим (это не нарушает эквивалентность) в (3):

, (4а)

. (4б)

Здесь , , . Полиномиальная матрица имеет ту особенность, что по ее диагонали стоят элементы с высшими степенями по в каждой строке:

Здесь считаем, что для .

Шаг 3. Из (4а) находим

Если - строго правильная , то переходим к шагу 4. В противном случае выделяем строго правильную часть из :

, где - полиномиальная матрица. Здесь - «остаток»:

Определим и подставим в (4а): . С учетом введенного получаем . Таким образом, система (4), если ввести , запишется так:

, (5а)

. (5б)

Шаг 4. Так как и определены, мы можем непосредственно получить наблюдаемую реализацию из строго правильной передаточной матрицы системы (5). Перепишем в виде

, где матрица размерами :

Здесь для и . Вспомним соотношения:

, , .

Можно получить наблюдаемую реализацию для следующим образом. Берем , , заменяем - «штук» столбцов матрицы

, а именно, столбцы с номерами на «штук» столбцов матрицы и получаем матрицу . С матрицей проще - . Матрица вычисляется так: заменим «штук» столбцов в нулевой матрице , а именно столбцы с номерами на «штук» столбцов матрицы . Таким образом, получаем наблюдаемую реализацию для . Другими словами, получили

, . (6)

Перейдем к переменной , а далее к :

, , . (7)

Таким образом, получили:

, где .

Шаг 5. Подставим (7) в (3б):

и используем зависимости (6) для исключения производных из правой части последнего уравнения, что дает

В результате получено описание системы в уравнениях пространства состояний . Индекс «0» следует опускать, так как фактически система может быть и ненаблюдаема

5. Примеры перехода от дифференциальных операторов к пространству состояний

Пример. Дано описание системы в виде (1) п.6:

, .

Матрица строчно правильная, и поэтому нужно выполнить шаг 1. Матрицы , и таковы:

, , .

На шаге 2 вычисления начинаем с матрицы и далее находим , :

, .

Шаг 3. Так как , то - строго правильная и, следовательно, , . Вычисления на этом шаге пропускаем.

Шаг 4. Зная и значения , вычисляем матрицу :

По известной находим :

Проще с матрицей : . Для вычисления находим , . Учитывая то, что , найдем

, ,

, .

Матрица получена заменой второго и четвертого столбцов матрицы на первый и второй столбцы матрицы , а матрица получена заменой «штук» столбцов матрицы . Получили описание , эквивалентное дифференциальному (полиномиальному) описанию.

Шаг 5. Так как полностью наблюдаема, можно последовательным дифференцированием , используя , исключить все производные и получить . Опишем эти действия более подробно.