Расчет регулятора для двухканальной системы полиномиальным методом синтеза

Страницы работы

Содержание работы

Министерство образования и науки РФ

Новосибирский государственный технический университет

Кафедра Автоматики

Расчётно–графическое задание по дисциплине «Многоканальные системы управления»

Факультет: АВТ     

Группа: ААМ–10

Студент: Саленко Д.С.                                      Преподаватель:

                                                                   Воевода А.А.  

Вариант 1        

Новосибирск 2010

СОДЕРЖАНИЕ

1. Постановка задачи. 3

1.1. Цель работы.. 3

1.2. Исходные данные. 3

2. Расчёт регулятора. 3

2.1. Математическая модель объекта. 3

2.2. Левое полиномиальное разложение объекта. 5

2.3. Правое полиномиальное разложение объекта. 5

2.4. Составление диофантова уравнения. 7

2.5. Решение диофантова уравнения. 8

Выводы.. 13

Приложение. 14


1. Постановка задачи

1.1. Цель работы

Рассчитать регулятор для двухканальной системы полиномиальным методом синтеза.

1.2. Исходные данные

     Объектом управления является система из трех масс , последовательно соединенных пружинами жесткостью . Массы, а также их координаты  пронумерованы сверху вниз. Предполагается два управляющих сигнала – силы  и , приложенные к массам  и . Управляемыми величинами являются координаты грузов  и , отсчитываемые от состояния равновесия.

Таблица 1. Исходные данные

1

2

4

2

4

8

Рис. 1. Физическая модель объекта

2. Расчёт регулятора

2.1. Математическая модель объекта

В предположении отсутствия демпфирования модель объекта «вход – выход» следующая:

Перейдём к изображениям:

               Сгруппируем переменные:

                                              (1)

Перейдём к полиномиальному описанию:

Здесь и .

С учётом исходных данных запишем:

Обозначим матрицы при  и  через  и  и :

Рис. 2. Модель объекта в системе Simulink

Рис. 3. Переходные процессы y(t) в объекте

2.2. Левое полиномиальное разложение объекта

Умножив второе уравнение (1) на множитель , исключим переменную  из системы:

Запишем матричную передаточную функцию в полиномиальном виде:

Или в матричных обозначениях

,

что соответствует левому полиномиальному разложению объекта. Здесь

.

Нами найдено левое разложение матричной передаточной функции:

.

2.3. Правое полиномиальное разложение объекта

Найдём правое полиномиальное разложение объекта:

.

Для начала приведем матрицу  к верхнетреугольному виду:

 

  

  

 

Выпишем матрицы :

Найдем результирующее преобразование:

Для проверки умножим  слева на и получим тот же результат , или

.

Здесь

.

Получили правое взаимно простое разложение матричной передаточной функции объекта. Можно проверить равенство , или, что эквивалентно, равенство .

2.4. Составление диофантова уравнения

«Отнормируем» матричную передаточную функцию объекта, представленную в виде правого разложения – умножим «числитель»  и «знаменатель»  на «–64». В результате коэффициент при старшей степени  окажется равным единице:

Опишем систему уравнениями

 ,

где – выход объекта, – выход регулятора, – задание.

Найдем передаточную функцию системы:

.

Задав регулятор в виде левого полиномиального разложения , получим

.

Выберем структуру «числителя» и «знаменателя», т. е. выберем порядки, например равными трем и трем:

, .

Таким образом, при известном правом представлении объекта в предположении, что ищем регулятор в виде левого разложения, задача синтеза сводится к решению диофантова уравнения:

                                                         (2)               

где – характеристическая матрица системы размером 2 на 2. Приравняв коэффициенты при одинаковых степенях s, получим систему уравнений, которая в матричном виде запишется так: . Далее следует решать диофантово уравнение, выбирая каким-либо образом степени матриц , , .

2.5. Решение диофантова уравнения

Запишем диофантово уравнение в матричном виде:

Зададим . Тогда:

,

.

Можем выписать “структуру” матриц  и :

                 

где звездочками помечены элементы, подлежащие определению.

          Подставим , , ,  в (2):

Приравняв коэффициенты при  с одинаковыми степенями в левой и правой части получим систему линейных уравнений, которую можно записать в матричном виде

.                                                         (3)

Здесь:

, ,

                              (4)

Получили систему матричных уравнений с 8-ью матричными неизвестными и восемью матричными уравнениями. Подставим значения ,  в (4).

         

Учтем структуру регулятора, а именно, что вторые столбики матриц , , ,  - нулевые. Это соответствует нулевым значениям столбиков 2, 4, 10, 12 матрицы :

               

.

При умножении  на  строки 2, 4, 10, 12 матрицы  не играют роли и их можно выбросить вместе со столбцами 2, 4, 10, 12 матриц . После этого столбцы 1, 2, 3, 4 матрицы  оказываются нулевыми. Следовательно, столбцы 1, 2, 3, 4 матрицы  обязаны быть нулевыми – это ограничение на выбор матрицы . В итоге мы обязаны выбросить из  и из  столбцы 1, 2, 3, 4. Матрицу  после выбрасывания столбцов 2, 4, 10, 12 обозначим через :

Похожие материалы

Информация о работе